（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 解析几何（二十三）课件 理

主攻40个必考点(二十三)圆锥曲线中的定点问题1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解：(1)证明：设Dt，－12，A(x1，y1)，则x21＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点0，12.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.由y＝tx＋12，y＝x22可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2·x1＋x22－4x1x2＝2(t2＋设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12.因为EM→⊥AB→，而EM→＝(t，t2－2)，AB→与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝42.所以四边形ADBE的面积为3或42.2．(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3－1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由1a2＋1b21a2＋34b2知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．因此1b2＝1，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22，t，－4－t22.则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题意．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋m－1x1＋x2x1x2.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.解得k＝－m＋12.当且仅当m－1时，Δ0，于是l：y＝－m＋12x＋m，即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1)．3．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→，得x0＝x，y0＝22y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x22＋y22＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)．由OP→·PQ→＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[把脉考情]考什么1.探求直线过定点问题2.探求曲线过定点问题考多深在解答题中考查，属难度较大题目，分值12分考多宽多以椭圆、抛物线为载体，考查直线过定点或圆过定点问题，注意设而不求、数形结合思想，分类讨论思想的应用，涉及逻辑推理力的核心素养直线过定点问题[典例1](2019·抚顺模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P1，32，其离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于M，N两点(异于点A)，若D在线段MN上，且AD⊥MN，|AD|2＝|MD|·|ND|，证明：直线l过定点．[解](1)由已知得ca＝12，1a2＋94b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：因为AD⊥MN，|AD|2＝|MD|·|ND|，所以Rt△ADM∽Rt△DNA，所以∠DNA＝∠MAD，所以∠MAN＝∠MAD＋∠DAN＝∠DNA＋∠DAN＝90°.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程消去y整理得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为直线l与椭圆C交于M，N两点，所以Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)×4(m2－3)0，即4k2－m2＋30，(*)且x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2.因为∠MAN＝90°，所以AM→·AN→＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，所以4m2－123＋4k2(k2＋1)＋(km－2)·－8km3＋4k2＋m2＋4＝0，整理得4k2＋16km＋7m2＝0，所以k＝－7m2或－m2，均满足(*)．当k＝－7m2时，直线l的方程为y＝－7m2x－27，直线l过定点27，0；当直线l的斜率不存在时，也符合．当k＝－m2时，直线l的方程为y＝－12m(x－2)，直线l过定点(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不合题意．综上知，直线l过定点27，0.增分方略求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求解”，①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组fx，y＝0，gx，y＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．曲线过定点问题[典例2](2019·潍坊调研)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上动点P到两焦点F1，F2的距离之和为4，当点P运动到椭圆C的一个顶点时，直线PF1恰与以原点O为圆心，以椭圆C的离心率e为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝6于不同的两点M，N，问以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．[解](1)由椭圆的定义可知2a＝4，则a＝2.若点P运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF1与圆一定相交，则点P只能在椭圆的上、下顶点上，不妨设点P运动到椭圆的上顶点(0，b)，F1为左焦点(－c,0)，则直线PF1：bx－cy＋bc＝0.由题意得原点O到直线PF1的距离等于椭圆C的离心率e，所以bcb2＋c2＝ca，又a2＝b2＋c2，故b2＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由题意知，直线PA，PB的斜率存在且都不为0.设直线PA的斜率为k，点P(x0，y0)，x0≠±2，又A(－2,0)，B(2,0)，所以kPA·kPB＝k·kPB＝y0x0＋2·y0x0－2＝y20x20－4＝1－x204x20－4＝－14，则kPB＝－14k.所以直线PA的方程为y＝k(x＋2)，令x＝6，得y＝8k，则M(6,8k)；直线PB的方程为y＝－14k(x－2)，令x＝6，得y＝－1k，则N6，－1k.因为yM·yN＝8k·－1k＝－80，所以以线段MN为直径的圆与x轴交于两点设为G，H，并设MN与x轴的交点为K，在以线段MN为直径的圆中应用相交弦定理，得|GK|·|HK|＝|MK|·|NK|＝|8k|·－1k＝8，因为|GK|＝|HK|，所以|GK|＝|HK|＝22，从而以线段MN为直径的圆恒过点(6－22，0)，(6＋22，0)．增分方略1．求解圆锥曲线综合问题的技巧：几何图形定位，代数推理定量本例在探求以线段MN为直径的圆是否过定点时，用到了以下技巧：(1)几何图形定位，即由线段MN为圆的直径，可知|GK|＝|HK|；(2)代数推理定量，即由圆的相交弦定理计算出|GK|·|HK|＝|MK|·|NK|＝|8k|·－1k＝8，得到|GK|＝|HK|＝22.2．常用结论：椭圆和双曲线(以焦点在x轴上为例)上的动点与左、右顶点连线所在直线的斜率之积有如下结论(1)若A，B分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，P是椭圆上异于A，B的动点，则kPA·kPB＝－b2a2.如本例．(2)若A，B分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右顶点，P是双曲线上异于A，B的动点，则kPA·kPB＝b2a2.