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小题考法课(二)基本初等函数、函数与方程一、高考真题集中研究——明规律题组(一)基本初等函数1.(2019·全国卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca解析:因为a=log20.2log21=0,b=20.220=1,0c=0.20.30.20=1,所以acb.故选B.答案:B2.(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)解析:函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=a2对称,令a=2可得与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B.答案:B3.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)解析:由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).答案:D4.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.解析:∵f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,∴1=log2(9+a),∴9+a=2,∴a=-7.答案:-75.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.解析:∵f(x)+f(-x)=ln(1+x2-x)+1+ln(1+x2+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,∴f(a)+f(-a)=2.∵f(a)=4,∴f(-a)=-2.答案:-2[怎么考]基础性:指、对、幂函数值的大小比较、求函数的值.综合性:与函数的奇偶性、单调性、对称性相结合进行考查,求复合函数单调性时,记住“同增异减”的原则.题组(二)函数与方程1.(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-125-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm解析:法一:设某人身高为mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,则由腿长为105cm,可得m-1051055-12≈0.618,解得m169.890.由头顶至脖子下端的长度为26cm,可得26n5-12≈0.618,解得n42.071.由已知可得26+nm-n+26=5-12≈0.618,解得m178.218.综上可知,此人身高m满足169.890m178.218,所以其身高可能为175cm.故选B.法二:设肚脐至足底的长度为xcm,则x105.所以身高大于105+105×0.618=169.89,又头顶至咽喉的长度小于26cm,所以头顶到肚脐的长度小于26+260.618≈68,故身高小于68+680.618≈178,结合选项可知选B.答案:B2.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.5解析:令f(x)=0,得2sinx-sin2x=0,即2sinx-2sinxcosx=0,∴2sinx(1-cosx)=0,∴sinx=0或cosx=1.又x∈[0,2π],∴由sinx=0,得x=0,π或2π,由cosx=1,得x=0或2π.故函数f(x)的零点为0,π,2π,共3个.答案:B[怎么考]基础性:零点个数的判断.综合性:与函数性质相结合,利用零点个数求参数范围,此时需注意数形结合的运用.创新性:与传统数学文化相结合,考查数学之美.二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)基本初等函数的图象与性质[典例](1)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a0,且a≠1)满足f(x)≤1,则函数y=loga(x+1)的图象大致为()(2)(2019·天津高考)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.cab[解析](1)由a|x|≤1(x∈R),知0a1,又函数y=loga(x+1)的图象是由y=logax的图象向左平移一个单位而得,故选C.(2)∵a=log27log24=2,b=log38log39=2且b1,c=0.30.20.30=1,∴cba.故选A.[答案](1)C(2)A[解题方略]基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,若底数a的值不确定,要注意分a1和0a1两种情况讨论:当a1时,两函数在定义域内都为增函数;当0a1时,两函数在定义域内都为减函数.(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.(3)对于幂函数y=xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同.[集训冲关]1.本例(1)变为:若函数y=a|x|(a0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致是()解析:∵y=a|x|的值域为{y|y≥1},∴a1,则y=logax在(0,+∞)上是增函数,又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称.因此y=loga|x|的图象应大致为选项B.答案:B2.(2020届高三·蓉城名校第一次联考)已知函数f(x)=4912+log42-x,x≤1,3x-8,x1,则f(f(log36))=()A.1B.53C.52D.-2解析:因为log361,所以f(log36)=3log36-8=-2,所以f(f(log36))=f(-2)=4912+log4(2+2)=23+1=53.故选B.答案:B3.若均不为1的实数a,b满足ab0,且ab1,则()A.loga3logb3B.3a+3b6C.3ab+13a+bD.abba解析:当a=9,b=3时,loga3logb3,A不成立;当a=2,b=1时,3ab+1=3a+b,C不成立;当a=4,b=2时,ab=ba,D不成立;因为ab0,ab1,所以3a+3b23a3b=23a+b232ab6,故选B.答案:B考点(二)函数与方程题点一确定函数零点个数或所在区间[典例1](1)函数f(x)=-|x|-x+3的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos3x+π6在[0,π]的零点个数为________.[解析](1)函数f(x)=-|x|-x+3是单调减函数,∵f(1)=10,f(2)=1-20,∴f(1)f(2)0,可知函数f(x)=-|x|-x+3的零点所在区间为(1,2).(2)由题意可知,当3x+π6=kπ+π2(k∈Z)时,f(x)=0.∵x∈[0,π],∴3x+π6∈π6,19π6,∴当3x+π6取值为π2,3π2,5π2时,f(x)=0,即函数f(x)=cos3x+π6在[0,π]的零点个数为3.[答案](1)B(2)3判断函数零点个数的3种方法[解题方略]题点二根据函数的零点求参数的范围[典例2](1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)(2)(2019·长沙模拟)已知f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)[解析](1)令h(x)=-x-a,则g(x)=f(x)-h(x).在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的示意图,如图所示.若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.(2)令t=f(x),则函数g(x)=t2+(a-2)t-2a,由t2+(a-2)t-2a=0,得t=2或t=-a.f(x)=|ex-1|+1=ex,x≥0,2-ex,x0,作出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知当t=2时,方程f(x)=|ex-1|+1=2有且仅有一个根,则方程f(x)=|ex-1|+1=-a必有两个不同的实根,此时由图可知1-a2,即-2a-1,故选A.[答案](1)C(2)A[解题方略]利用函数零点的情况求参数范围的3种方法[集训冲关]1.已知定义域为R的偶函数f(x)满足:对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18.若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则实数a的取值范围为()A.0,33B.0,22C.0,55D.0,66解析:∵f(x+2)=f(x)-f(1),f(x)是偶函数,∴f(1)=0,∴f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称,作出函数y=f(x)与g(x)=loga(x+1)的图象如图所示,∵两个函数图象在(0,+∞)上至少有三个交点,∴g(2)=loga3f(2)=-2,且0a1,解得0a33,故选A.答案:A2.设函数f(x)=2x,x≤0,-1x,x0,则函数F(x)=f(x)+x的零点个数是________.解析:在同一个坐标系中画出函数f(x)=2x,x≤0,-1x,x0的图象和直线y=-x,如图所示.而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为函数f(x)=2x,x≤0,-1x,x0的图象和直线y=-x的交点的个数,由图可知,共有两个交点,所以其零点个数为2.答案:2考点(三)函数的实际应用问题[典例](1)(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.1(2)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过多少min,容器中的沙子只有开始时的八分之一()A.8B.16C.24D.32[解析](1)由题意知,m1=-26.7,m2=-1.45,代入所给公式得-1.45-(-26.7)=52lgE1E2,所以lgE1E2=10.1,所以E1E2=1010.1.(2)由题设得ae-8b=12a,解得b=18ln2.
本文标题:(新高考)2020版高考数学二轮复习 重点保分专题一 小题考法课(二)课件 文
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