（新高考）2020版高考数学二轮复习 重点保分专题三 小题考法课（一）课件 文

重点保分专题三三角函数与解三角形把握考情诊断学情考查内容三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的性质、图象及其变换、三角恒等变换、正、余弦定理的应用、三角形面积求解存在问题(1)求三角函数值时忽视对角的范围的限制而致误；(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时忽视A与ω的符号而直接求解致误；(3)函数图象平移的方向及x的变化量把握不准；(4)解三角形时易忽视隐含条件而致误(如内角的范围，A＋B＋C＝π等)考查题型选择题、填空题、解答题在高考中都有呈现，难度多为中档题把握考情诊断学情考查素养考查学生的运算能力、推理能力、解决实际问题的能力，从而培养学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养解决方法(1)当三角函数的定义域有范围限制时，一定要在定义域内研究函数的单调区间等性质；(2)求函数单调区间时，应把函数化为最简形式；(3)解决三角函数图象平移问题时，要注意x的系数是否为1小题考法课(一)三角函数的图象与性质一、高考真题集中研究——明规律题组(一)三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数基本关系1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3解析：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.答案：D2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.79解析：将sinα－cosα＝43的两边进行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝169，即sin2α＝－79.答案：A3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解析：由cos2α＝23，得cos2α－sin2α＝23，∴cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝23，即1－tan2α1＋tan2α＝23，∴tanα＝±55，即b－a2－1＝±55，∴|a－b|＝55.故选B.答案：B[怎么考]三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数基本关系很少单独考查，常与三角恒等变换结合考查求值问题．解决此类问题需灵活应用sin2α＋cos2α＝1及tanα＝sinαcosα的公式及变形．题组(二)三角函数的图象及应用1．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3解析：由图象知T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为π3，2，所以A＝2，且2×π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－π6.故选A.答案：A2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3解析：函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.答案：D3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z解析：由图象知，周期T＝254－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2kπ，得φ＝π4＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，∴f(x)＝cosπx＋π4.由2kπ＜πx＋π4＜2kπ＋π，得2k－14＜x＜2k＋34，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z，故选D.答案：D[怎么考]基础性：由图象确定解析式或函数图象的变换．综合性：利用图象，结合三角函数的性质进行综合考查，在图象变换过程中务必分清是先相位变换还是先周期变换，变换只是相对于自变量x而言的，如果x的系数不为1，就把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．题组(三)三角函数的性质1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.12解析：由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，12T＝3π4－π4＝π2，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2.答案：A2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosxcos2x＋sin2xcos2x＝sinx·cosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.答案：C3．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π解析：∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，∴当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，3π4时，y＝sinx－π4单调递增，f(x)＝－2sinx－π4单调递减，∴－π4，3π4是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆－π4，3π4，∴a≤3π4，即amax＝3π4.故选C.答案：C4．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．解析：∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2cos2x＋32cosx＋1＝－2cosx＋342＋178，因为－1≤cos≤1，所以当cosx＝1时，函数f(x)取得最小值－4.答案：－4[怎么考]基础性：求函数的周期、对称性、单调性．综合性：由单调性求最值或由性质研究参数的范围．常与三角恒等变换相结合，题目常考常新．考查三角函数的性质时，首先要将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再对比y＝sinx的性质求解，注意数形结合思想的应用．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数基本关系[大稳定——常规角度考“四基”]1．[三角函数的定义及应用]角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－35，则tanθ＝()A．－43B.43C．－34D.34解析：因为角θ的终边经过点P(4，y)，sinθ＝－350，所以角θ为第四象限角，所以cosθ＝1－sin2θ＝45，所以tanθ＝sinθcosθ＝－34，故选C.答案：C2．[同角三角函数的关系式及应用]已知f(x)＝tanx＋1tanx，则fπ12的值为()A．23B.433C．2D．4解析：因为f(x)＝tanx＋1tanx＝sinxcosx＋cosxsinx＝1sinxcosx＝2sin2x，所以fπ12＝2sinπ6＝4，故选D.答案：D3．[诱导公式及应用]设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12解析：由已知，得f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sinπ6＋sin－π6＋sinπ6＝Z＋12＋－12＋12＝12.答案：A[解题方略]1．同角三角函数基本关系式的应用技巧知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用知切求弦通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解和积转换法如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θsinαcosα1＋1tan2θ2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意]“奇变偶不变，符号看象限”．[小创新——变换角度考“迁移”]1．[与复数交汇]若复数z＝cosθ－45＋sinθ－35i是纯虚数(i为虚数单位)，则tanθ－π4的值为()A．－7B．－17C．7D．－7或－17解析：由复数z为纯虚数，得cosθ－45＝0，sinθ－35≠0，即cosθ＝45，sinθ≠35，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝－35，所以tanθ＝－34，于是tanθ－π4＝tanθ－tanπ41＋tanθtanπ4＝－34－11＋－34×1＝－7.答案：A2．[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A．6m2B．9m2C．12m2D．15m2解析：如图，由题意可得∠AOB＝2π3，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝π3，∠DAO＝π6，OD＝12AO＝12×4＝2，于是矢CD＝4－2＝2.由AD＝AO·sinπ3＝4×32＝23，可得弦长AB＝2AD＝2×23＝43.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(m2)．故选B.答案：B3．[与导数交汇]已知函数f(x)＝x3＋2x2f′(1)＋2的图象在点x＝2处的切线的倾斜角为α，则sinπ2＋α·cos3π2－α的值为()A.316B．－316C.417D．－417解析：∵f(x)＝x3＋2x2f′(1)＋2，∴f′(x)＝3x2＋4xf′(1)，∴f′(1)＝3＋4f′(1)，解得f′(1)＝－1.∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(2)＝3×22－4×2＝4，∴函数图象在点x＝2处的切线的斜率k＝tanα＝4，则sinπ2＋αcos3π2－α＝－cosαsinα＝－sinαcosαsin2α＋cos2α＝－tanαtan2α＋1＝－417，故选D.答案：D考点(二)三角函数的图象及应用题点一由“图”定“式”[典例1]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝23sinπx8＋π4B．f(x)＝23sinπx8＋3π4C．f(x)＝23sin