（新高考）2020版高考数学二轮复习 重点保分专题三 小题考法课（二）课件 文

小题考法课(二)三角恒等变换与解三角形一、高考真题集中研究——明规律题组(一)三角函数的求值与化简1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝55.答案：B2．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.解析：tanα－5π4＝tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.答案：323．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.解析：∵α∈0，π2，tanα＝2，∴sinα＝255，cosα＝55，∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22×255＋55＝31010.答案：31010[怎么考]考点单一：主要针对三角函数求值进行考查．形式灵活：采用诱导公式或三角恒等变换先进行化简，其中常用到角的配凑，方法多变．解题有根：解决该类问题的关键是熟记和差公式、倍角公式及其变形，灵活应用几个特殊角及角的配凑．题组(二)正弦定理、余弦定理1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3解析：∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－4c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.答案：A2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：∵S＝12absinC＝a2＋b2－c24＝2abcosC4＝12abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝π4.答案：C3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则sinA＝()A.310B.1010C.55D.31010解析：设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，因为B＝π4，所以DC＝2AD，AC＝AD2＋DC2＝5AD，由正弦定理知ACsinB＝BCsinA，即5AD22＝3ADsinA，解得sinA＝31010.答案：D4．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.解析：∵bsinA＋acosB＝0，∴asinA＝b－cosB.由正弦定理asinA＝bsinB，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.答案：3π45．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC0，∴sinA＝12.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝82bc＝4bc0，∴cosA＝32，bc＝4cosA＝833，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×833×12＝233.答案：233[怎么考]以选择题或填空题的形式考查正、余弦定理时，多以简单应用为主，主要考查三角形的边、角、面积的基本运算．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)三角恒等变换[大稳定——常规角度考“四基”]1．[给角求值]2sin47°－3sin17°cos17°＝()A．－3B．－1C.3D．1解析：原式＝2×sin47°－sin17°cos30°cos17°＝2×sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝2sin30°＝1.故选D.答案：D2．[给值求值]已知cosπ4－α＝45，则sin2α＝()A.15B．－15C.725D．－725解析：法一：因为cosπ4－α＝45，所以sin2α＝sinπ2－2π4－α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×452－1＝725.故选C.法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，cosθ＝45，所以sin2α＝sin2π4－θ＝sinπ2－2θ＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×452－1＝725.故选C.法三：因为cosπ4－α＝45，所以22(cosα＋sinα)＝45，所以cosα＋sinα＝425，平方得1＋sin2α＝3225，得sin2α＝725.故选C.答案：C3．[给值求角]已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：∵0απ2，0βπ2，∴－π2α－βπ2.∵sin(α－β)＝－1010，sinα＝55，∴cos(α－β)＝31010，cosα＝255，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝255×31010＋55×－1010＝22，∴β＝π4.答案：C[解题方略]1．三角恒等变换的策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．2．求值的基本类型及解题策略给角求值一般给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角求解给值求值给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系给值求角实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，确定角的度数[小创新——变换角度考“迁移”]1．[与对数式交汇]已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5tanαtanβ2等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，所以sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，所以tanαtanβ＝5，所以log5tanαtanβ2＝log552＝4.故选C.答案：C2．[与三角函数概念交汇]在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点12，32，则cos2θ＋π3＝()A．－1B．1C．2D．0解析：由题意，得cosθ＝12，sinθ＝32，则sin2θ＝2sinθcosθ＝32，cos2θ＝2cos2θ－1＝－12，所以cos2θ＋π3＝cos2θcosπ3－sin2θsinπ3＝－12×12－32×32＝－1.答案：A3．[与向量交汇]设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tanα－π4＝________.解析：∵a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，a⊥b，∴2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，∴tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanα·tanπ4＝2－11＋2×1＝13.答案：13考点(二)利用正、余弦定理解三角形题点一利用正、余弦定理进行边、角计算[典例1](2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25[解析]∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝42.[答案]A[典例2]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sinC－sinBsinB＝acosBbcosA，则A＝()A.π6B.π4C.π3D.2π3[一题多解]法一：角化边因为2sinC－sinBsinB＝acosBbcosA，由正弦定理可得2c－bb＝acosBbcosA，即abcosB＝(2c－b)bcosA.由余弦定理可得ab·a2＋c2－b22ac＝(2c－b)·b·b2＋c2－a22bc，整理可得bc＝b2＋c2－a2.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3.故选C.法二：边化角由正弦定理及已知可得2sinC－sinBsinB＝sinAcosBsinBcosA，即2sinC－sinB＝sinAcosBcosA，即cosA(2sinC－sinB)＝sinAcosB，即2sinCcosA＝sinAcosB＋cosAsinB，即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosA＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.故选C.[答案]C[解题方略]1．解三角形边长问题的策略(1)求边的范围可考虑利用三角函数的有界性．(2)求边的最值可考虑应用不等式．(3)要将求解的问题归结到一个或几个三角形中，先通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确．2．解三角形内角问题的策略根据正弦定理、余弦定理，结合三角形中大边对大角进行分析判断．一般地，在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解．注意确定解的个数．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．题点二利用正、余弦定理进行面积计算[典例3](2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．[解析]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，a＝43，∴S△ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.[答案]63[典例4]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积S＝3c，则ab的最小值为________．[解析]在△ABC中，2ccosB＝2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB.又A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋sinB＝0，因为sinB≠0，所以cosC＝－12，又0Cπ，所以C＝2π3.由S＝3c＝12absinC＝12ab×32，得c＝ab4.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2