（新高考）2020版高考数学二轮复习 大题考法课 解三角形的综合问题课件 文

大题考法课解三角形的综合问题类型(一)三角形基本量的求解问题[典例]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinC＝acosC＋ccosA，B＝2π3，c＝3.(1)求角C；(2)若点E满足AE―→＝2EC―→，求BE的长．[一题多解]第(1)问法一：利用正弦定理求解由题设及正弦定理得2sinBsinC＝sinAcosC＋sinCcosA，又sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，所以2sinBsinC＝sinB.由于sinB＝32≠0，所以sinC＝12.又0Cπ3，所以C＝π6.法二：利用余弦定理求解由题设及余弦定理可得2bsinC＝a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc，化简得2bsinC＝b.因为b0，所以sinC＝12.又0Cπ3，所以C＝π6.第(2)问法一：利用正、余弦定理求解由正弦定理易知bsinB＝csinC＝23，解得b＝3.又AE―→＝2EC―→，所以AE＝23AC＝23b，即AE＝2.在△ABC中，因为∠ABC＝2π3，C＝π6，所以A＝π6，所以在△ABE中，A＝π6，AB＝3，AE＝2，由余弦定理得BE＝AB2＋AE2－2AB·AEcosπ6＝3＋4－2×3×2×32＝1，所以BE＝1.法二：二次利用余弦定理求解在△ABC中，因为∠ABC＝2π3，C＝π6，所以A＝π6，a＝c＝3.由余弦定理得b＝32＋32－2×3×3×cos2π3＝3.因为AE―→＝2EC―→，所以EC＝13AC＝1.在△BCE中，C＝π6，BC＝3，CE＝1，由余弦定理得BE＝BC2＋EC2－2BC·ECcosπ6＝3＋1－2×3×1×32＝1，所以BE＝1.法三：利用向量求解(解题观摩)在△ABC中，因为∠ABC＝2π3，C＝π6，所以A＝π6，a＝c＝3.因为AE―→＝2EC―→，所以BE―→＝13BA―→＋23BC―→.则|BE―→|2＝19(BA―→＋2BC―→)2＝19(|BA―→|2＋4BA―→·BC―→＋4|BC―→|2)＝193－4×3×3×12＋4×3＝1，所以BE＝1.[思维流程]利用正、余弦定理求解三角形基本量的步骤及方法[对点训练]1．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×－12.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×－12，解得c＝5，所以b＝7.(2)由cosB＝－12得sinB＝32.由正弦定理得sinC＝cbsinB＝5314.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，所以cosC＝1－sin2C＝1114.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝32×1114－－12×5314＝437.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2tanBtanA＋tanB＝bc.(1)求角A；(2)若a＝13，b＝3，求边c的长．解：(1)由2tanBtanA＋tanB＝bc及正弦定理可知，2sinBcosB·cosA·cosBsinA＋B＝sinBsinC，∴2cosA＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴13＝9＋c2－3c，∴c2－3c－4＝0，即(c－4)(c＋1)＝0，又c0，∴c＝4.类型(二)与三角形面积有关的问题[典例](2020届高三·广东六校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S△ABC＝2534，且a＝5，求sinB＋sinC.[解](1)∵b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA，∴2bccosA＝accosC＋c2cosA，∵c0，∴2bcosA＝acosC＋ccosA，由正弦定理得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，即2sinBcosA＝sin(A＋C)．∵sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，∴2sinBcosA＝sinB，即sinB(2cosA－1)＝0，∵0Bπ，∴sinB≠0，∴cosA＝12，∵0Aπ，∴A＝π3.(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝34bc＝2534，∴bc＝25.∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－252×25＝12，∴b2＋c2＝50，∴(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)，∴sinB＋sinC＝b·sinAa＋c·sinAa＝(b＋c)·sinAa＝10×325＝3.[一题多变]1．在本例条件下，若△ABC的面积为3，周长为8，求a.解：由题设得12bcsinA＝3，从而bc＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝(b＋c)2－12.又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝134.2．在本例条件下，若a＝2，求△ABC面积的最大值．解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，因为a＝2，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，所以△ABC的面积S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤3，所以△ABC面积的最大值为3.[解题方略]求解与三角形面积有关的问题的步骤化简转化根据条件，利用三角变换公式化简已知条件等式，再利用正、余弦定理化边或化角选择公式根据条件选择面积公式，多用三角形的面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA求值(最值)若求最值，注意根据条件利用基本不等式求最值；若求值，可根据条件直接求出[对点训练](2019·重庆调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为32accosB，且sinA＝3sinC.(1)求角B的大小；(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．解：(1)∵S△ABC＝12acsinB＝32accosB，∴tanB＝3.又0Bπ，∴B＝π3.(2)sinA＝3sinC，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6.由余弦定理得，b2＝62＋22－2×6×2×cos60°＝28，∴b＝27.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝272＋22－622×2×27＝－714.∵D是AC的中点，∴AD＝7.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋(7)2－2×2×7×－714＝13.∴BD＝13.类型(三)以平面几何为载体的解三角形问题[典例]如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE.CB＝2，BE＝1，∠B＝∠CED＝2π3.(1)求sin∠AED的值；(2)若AB∥CD，求CD的长．[解](1)在△BEC中，由余弦定理得，CE＝CB2＋BE2－2CB·BEcos∠B＝7，又BEsin∠BCE＝CEsin∠B，所以sin∠BCE＝2114，因为∠B＝∠CED，所以sin∠AED＝sin∠BCE＝2114.(2)因为AB∥CD，所以∠CDE＝∠AED，所以sin∠CDE＝sin∠AED＝2114，在△CDE中，CDsin∠CED＝CEsin∠CDE，所以CD＝CEsin∠CEDsin∠CDE＝7×322114＝7.[解题方略]求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．[对点训练](2019·福州检测)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝5714，cos∠AMC＝－277.(1)求∠B的大小；(2)若AM＝21，求△AMC的面积．解：(1)由cos∠BAM＝5714，得sin∠BAM＝2114，由cos∠AMC＝－277，得sin∠AMC＝217.又∠AMC＝∠BAM＋∠B，所以cos∠B＝cos(∠AMC－∠BAM)＝cos∠AMCcos∠BAM＋sin∠AMCsin∠BAM＝－277×5714＋217×2114＝－12，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝2π3.(2)法一：由(1)知∠B＝2π3，在△ABM中，由正弦定理AMsin∠B＝BMsin∠BAM，得BM＝AMsin∠BAMsin∠B＝21×211432＝3.因为M是边BC的中点，所以MC＝3.故S△AMC＝12AM·MC·sin∠AMC＝12×21×3×217＝332.法二：由(1)知∠B＝2π3，在△ABM中，由正弦定理AMsin∠B＝BMsin∠BAM，得BM＝AMsin∠BAMsin∠B＝21×211432＝3.因为M是边BC的中点，所以S△AMC＝S△ABM，所以S△AMC＝S△ABM＝12AM·BM·sin∠BMA＝12×21×3×217＝332.[归通法·保规范·赢满分][循流程思维——入题快]尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.[按流程解题——快又准][典例]2019·全国卷Ⅲ△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin\f(A＋C,2)＝bsinA.,1求B；,2若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.[解题样板]由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA❶.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB❷.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2❸.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，易知cosB20，所以B2为锐角．所以B＝60°.[关键步骤]❶变式：利用正弦定理转换等式．[微点提醒]加红处约去sinA时需注明sinA≠0，否则扣1分．❷化简：约去sinA，可转化为只与B有关的式子．[关键步骤][关键步骤]❸变角：利用三角形内角和定理及二倍角公式变角．加红处由sinB2＝12，解得B＝60°时，要先说明B2的范围．[微点提醒](2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得，a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12❹.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.结合A＋C＝120°，得30°C90°，所以12a2，从而38S△ABC32.因此△ABC面积的取值范围是38，32.❹变式、转化：利用正弦定理及两角差的正弦公式变式，转化为只与tanC有关的函数，以C的范围求面积的范围．[关键步骤]加红处解答不下结论，扣1分．加红处要体现出角C的范围是如何得到的，否则扣1分．[微点提醒][微点提醒][思维升华]1．利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤第一步：找条件．寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具．根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化．第三步：求结果．根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思．转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．2．解三角形中的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理