（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题一 三角函数、平面向量与解三角形 第5讲 三角函数的

第5讲三角函数的实际应用题型一与规划设计有关的实际问题[例1]为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB＝3百米，AD＝5百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈π2，π.(1)当cosθ＝－55时，求小路AC的长度；(2)当草坪ABCD的面积最大时，求小路BD的长度．[解](1)在△ABD中，由BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosθ，得BD2＝14－65cosθ，又cosθ＝－55，∴BD＝25.∵θ∈π2，π，∴sinθ＝1－cos2θ＝1－－552＝25.在△ABD中，由BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，得2525＝3sin∠ADB，解得sin∠ADB＝35.∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠CDB＝π2且CD＝BD＝25，∴cos∠ADC＝cos∠ADB＋π2＝－sin∠ADB＝－35.在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝(5)2＋(25)2－2×5×25×－35＝37，得AC＝37，所以当cosθ＝－55时，小路AC的长度为37百米．(2)由(1)得BD2＝14－65cosθ，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12×3×5×sinθ＋12×BD2＝7＋352sinθ－35cosθ＝7＋352(sinθ－2cosθ)＝7＋152sin(θ－φ)，其中sinφ＝25，cosφ＝15，且φ∈0，π2.当θ－φ＝π2，即θ＝φ＋π2时，四边形ABCD的面积最大，此时sinθ＝15，cosθ＝－25，∴BD2＝14－65cosθ＝14－65×－25＝26，∴BD＝26，∴当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为26百米．[解题方略]与规划设计有关的实际问题，往往和面积、长度等元素有关，需将实际问题抽象概括后，通过解三角形等方法列出面积、长度的三角函数关系式，然后根据规划设计的最值要求，求出面积或长度．解数学应用题的一般思路[针对训练]如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．(1)求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2)问AD段多长时，S最小？解：(1)在△ABD中，由正弦定理得1sinα＝BDsinπ3＝ADsin2π3－α，所以BD＝32sinα，AD＝3cosα2sinα＋12，则S＝a3cosα2sinα＋12＋2a1－3cosα2sinα＋12＋4a32sinα＝a43－3cosα2sinα＋32，α∈π3，2π3.(2)令S′＝3a·1－4cosα2sin2α＝0，设cosα0＝14.列表如下：απ3，α0α0α0，2π3cosα14，1214－12，14S′－0＋S极小值所以当cosα＝14时，S最小，此时sinα＝154，AD＝3cosα2sinα＋12＝5＋510.答：(1)S关于α的函数表达式为S＝a43－3cosα2sinα＋32，且α∈π3，2π3；(2)当AD＝5＋510时，S最小．题型二与成本费用有关的实际问题[例2](2019·镇江期末)某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2)当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．[解](1)因为三楼宇间的距离都为2千米，所以AB＝AC＝BC＝2.因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，所以∠BDC＝120°.在△BDC中，由BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，得22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120°＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，则BD·CD≤43，当且仅当BD＝CD时取等号，此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝1cos30°＝233.区域ABDC的面积S＝S△ABC＋S△BCD＝12×2×2×sin60°＋12BD·CD·sin120°≤3＋23×32＝433(平方千米)，所以区域ABDC面积的最大值为433.(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元．在Rt△BDE中，由(1)知，BD＝CD＝233，∠BDE＝θ，0°＜θ＜60°，则DE＝233cosθ，BE＝233tanθ，AE＝AB－BE＝2－233tanθ，所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a·233cosθ＋a·2－233tanθ＝233a2－sinθcosθ＋2a,0°＜θ＜60°.记f(θ)＝2－sinθcosθ，令f′(θ)＝－1＋2sinθcos2θ＝0，解得θ＝30°.当0°＜θ＜30°时，f′(θ)0，函数f(θ)为减函数；当30°＜θ＜60°时，f′(θ)0，函数f(θ)为增函数．所以当θ＝30°时，f(θ)取得最小值，此时ymin＝4a(元)．[解题方略]与成本费用有关的实际问题，其实就是探求三角函数的最值．求解三角函数的值域或最值的方法一般有化归法、换元法、导数法．本题可通过解三角形列出三角函数关系式，然后利用导数求解．[针对训练](2019·苏北三市期末)如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在的区域改造成绿化区域．已知∠BAC＝π6，AB＝2km.(1)若绿化区域△ABC的面积为1km2，求道路BC的长度；(2)若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC＝θ0θ≤2π3，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？解：(1)因为在△ABC中，∠BAC＝π6，AB＝2km，所以由△ABC的面积S＝12×AB×AC×sinπ6＝1，解得AC＝2.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cosπ6＝22＋22－2×2×2×cosπ6＝8－43，所以BC＝8－43＝(6－2)km.(2)由∠ABC＝θ，则∠ACB＝π－θ＋π6，0θ≤2π3.在△ABC中，∠BAC＝π6，AB＝2km，由正弦定理得ACsinB＝BCsinA＝ABsin∠ACB，所以BC＝1sinθ＋π6，AC＝2sinθsinθ＋π6.记该计划所需费用为F(θ)，则F(θ)＝12×2sinθsinθ＋π6×2×12×10＋1sinθ＋π6×10＝10sinθ＋1sinθ＋π60θ≤2π3.令f(θ)＝sinθ＋132sinθ＋12cosθ，则f′(θ)＝sinθ－π3＋1232sinθ＋12cosθ2.由f′(θ)＝0，得θ＝π6.所以当θ∈0，π6时，f′(θ)0，f(θ)单调递减；当θ∈π6，2π3时，f′(θ)0，f(θ)单调递增．所以θ＝π6时，该计划所需费用最小．题型三与航行追击有关的实际问题[例3]一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使其用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17°≈36，33≈5.7446)(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．[解](1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图①)，依题意，AC＝3BC.在△ABC中，由正弦定理得，sin∠BAC＝BCACsin∠ABC＝sin120°3＝36.因为sin17°≈36，所以∠BAC＝17°.从而缉私艇应向北偏东47°方向追击.在△ABC中，由余弦定理得，cos120°＝42＋BC2－AC28BC，解得BC＝1＋334≈1.68615.又B到边界线l的距离为3.8－4sin30°＝1.8.因为1.686151.8，所以能在领海上成功拦截走私船．答：缉私艇应向北偏东47°方向追击．(2)如图②，设走私船沿BC方向逃跑，∠ABC＝α，缉私艇在C处截获走私船，并设BC＝a，则AC＝3a.由余弦定理得(3a)2＝a2＋16－8acosα，即cosα＝2－a2a，所以sinα＝5a2－a4－4a，1≤a≤2.所以BCcos(α－120°)＝a－12cosα＋32sinα＝－12(2－a2)＋32·5a2－a4－4＝12(a2－2)＋32·－a2－522＋94.令t＝a2－52，－32≤t≤32，再令t＝32cosθ，0°≤θ≤180°.则BCcos(α－120°)＝12t＋14＋32·94－t2＝34cosθ＋334sinθ＋14＝32sin(θ＋30°)＋14≤1.751.8，所以无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．[解题方略]诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数、解三角形知识来求解．[针对训练]如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图所示，连结A1B2，由已知得A2B2＝102(海里)．∵A1A2＝302×2060＝102(海里)，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102(海里)，∠A2A1B2＝60°.在△A1B2B1中，A1B1＝20(海里)，∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°，则B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102(海里)．因此，乙船每小时航行10220×60＝302(海里)．