（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题一 三角函数、平面向量与解三角形 第3讲 解三角形课

第3讲解三角形课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.3．三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.4．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.5．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝π3.6．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．7．S△ABC＝abc4R(R为△ABC外接圆半径)．[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝________.解析：∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－4c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.答案：62．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，a＝43，∴S△ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.答案：633．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.解析：∵bsinA＋acosB＝0，∴asinA＝b－cosB.由正弦定理asinA＝bsinB，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.答案：3π44．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.解析：如图，易知sinC＝45，sinA＝35，cosA＝45.在△BDC中，由正弦定理可得BDsinC＝BCsin∠BDC，∴BD＝BC·sinCsin∠BDC＝3×4522＝1225.∴cos∠ABD＝cos(45°－A)＝cos45°cosA＋sin45°sinA＝22×45＋22×35＝7210.答案：122572105．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°A180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，整理可得cos(C＋60°)＝－22.因为0°C120°，所以C＋60°＝135°，C＝75°，所以sinC＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.6．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.结合A＋C＝120°，得30°C90°，所以12a2，从而38S△ABC32.因此△ABC面积的取值范围是38，32.7．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×－12.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×－12，解得c＝5，所以b＝7.(2)由cosB＝－12得sinB＝32.由正弦定理得sinC＝cbsinB＝5314.在△ABC中，因为∠B是钝角，所以∠C为锐角，所以cosC＝1－sin2C＝1114.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝32×1114－－12×5314＝437.课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一求角[例1](1)(2019·启东期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝3bcosA，B＝A－π6，则B＝________.(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝acosC＋33sinC，a＝2，c＝263，则C＝________.[解析](1)因为acosB＝3bcosA，所以，由正弦定理得sinAcosB＝3sinBcosA，故tanA＝3tanB，又B＝A－π6，故tanB＝tanA－331＋33tanA＝3tanB－331＋3tanB，解得tanB＝33，因为B∈0，π2，所以B＝π6.(2)由b＝acosC＋33sinC，得sinB＝sinAcosC＋33sinC.因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋33sinAsinC.又sinC≠0，所以cosA＝33sinA，tanA＝3.因为0Aπ，所以A＝π3.由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝22.因为0C2π3，所以C＝π4.[答案](1)π6(2)π4[解题方略]根据正弦定理、余弦定理，结合三角形中大边对大角进行分析判断．一般地，在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解．注意确定解的个数．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．考法二求边长[例2](1)(2019·启东中学检测)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝________.(2)在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为23，则AB的长为________．[解析](1)如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7.(2)设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，因为△ABC的面积为23，所以S＝12absin120°＝32a2＝23，解得a＝2，所以b＝4，则AB＝c＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－2×2×4cos120°＝27.[答案](1)7(2)27[解题方略](1)求边的范围可考虑利用三角函数的有界性．(2)求边的最值可考虑应用不等式．(3)要将求解的问题归结到一个或几个三角形中，先通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确．考法三求面积[例3](1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，c＝3，C＝2B，则△ABC的面积为________．(2)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cosC＝ccosA，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为32，则a＋b＝_______.[解析](1)根据正弦定理可得2sinB＝3sin2B，即2sinB＝32sinBcosB，解得cosB＝34，所以sinB＝1－342＝74，sin2B＝2×74×34＝378，cos2B＝2cos2B－1＝18，所以sinA＝sin(B＋C)＝74×18＋34×378＝5716，所以△ABC的面积S＝12×2×3×5716＝15716.(2)由(3b－a)cosC＝ccosA，得3sinBcosC－sinAcosC＝sinCcosA，即3sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB，又sinB≠0，所以cosC＝13，得sinC＝223.由S△ABC＝12absinC＝32，得12ab×223＝32，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝33.[答案](1)15716(2)33[解题方略]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．[集训过关]1．(2019·扬州中学期末)在△ABC中，AC＝5，BC＝10，cosA＝255，则△ABC的面积为________．解析：由AC＝5，BC＝10，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcosA，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sinA＝1－cos2A＝55，故S△ABC＝12×5×5×55＝52.答案：522．(2019·如东中学检测)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝2sinB，则其最小内角的余弦值为________．解析：由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b.又b2＝ac，所以b＝2a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2a2＋4a2－a22·2a·2a＝528.答案：5283．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积S＝3c，则ab的最小值为________．解析：在△ABC中，2ccosB＝2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB.又A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋sinB＝0，因为sinB≠0，所以cosC＝－12，又0Cπ，所以C＝2π3.由S＝3c＝12absinC＝12ab×32，得c＝ab4.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以ab42≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48.答案：484．在△ABC中，BC＝3AC，ta