（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题五 数列 第22讲 等差、等比数列的基本运算课件

小题考情常考点等差数列的基本量运算(5年3考)等比数列的基本量运算(5年3考)偶考点1.数列的递推公式2.等差、等比数列和其他知识的综合应用大题考情近几年的数列解答题，其常规类型可分为二类：一类是判断、证明某个数列是等差、等比数列(如2017年T19)；另一类是已知等差、等比数列求基本量，这个基本量涵义很广泛，有项、项数、公差、公比、通项、和式以及它们的组合式，甚至还包括相关参数(如2018年T20)．数列的压轴题还对代数推理能力的要求较高，其中数列与不等式的结合(如2019年T20)；数列与方程的结合(如2015年T20)．这些压轴题难度很大，综合能力要求较高.第22讲等差、等比数列的基本运算课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d(1)q≠1，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q；(2)q＝1，Sn＝na12．等差数列的重要规律与推论(1)p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)连续k项的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，S奇S偶＝amam＋1.(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，S奇S偶＝mm－1.3．等比数列的重要规律与推论(1)p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an.(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶S奇＝q.(5)对于等比数列前n项和Sn，有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；②SmSn＝1－qm1－qn(q≠±1)．[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________.解析：设数列{an}的公差为d，由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，所以S10＝10a1＋10×92d＝100a1，S5＝5a1＋5×42d＝25a1，所以S10S5＝4.答案：42．(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．解析：设数列{an}的公差为d.∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an0，则n5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.答案：0－103．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵S9＝27，∴S9＝9a1＋a92＝9a5＝27，∴a5＝3，又a2a5＋a8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0.解得d＝2，∴S8＝8a1＋a82＝4(a4＋a5)＝4×(1＋3)＝16.答案：164．(2019·全国卷Ⅲ改编)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝________.解析：设数列{an}的公比为q，由题意知a10，q0，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1，q＝2，∴a3＝a1q2＝4.答案：45．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________.解析：设数列{an}的公比为q，由a24＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝1a1＝3.则S5＝131－351－3＝1213.答案：12136．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.解析：设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝34，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝34，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－12，∴S4＝1×1－－1241－－12＝58.答案：587．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.解析：∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝a7－a37－3＝13－54＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋10×92d＝100.答案：1008．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.所以{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，所以数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一等差、等比数列基本量的计算[例1](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)(2019·淮安五校联考)数列{an}满足an＋1＝an＋a(a为常数且不为0，n∈N*)，若a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比是________．(3)(2019·徐州期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝132，a6＋a9＝30，则a12的值为________．(4)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________.[解析](1)因为S1，S5，S7成等差数列，所以S1＋S7＝2S5.设等差数列{an}的公差为d，则a1＋7a1＋21d＝2(5a1＋10d)，解得d＝2a1.因为a3＝5，所以d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.(2)∵an＋1＝an＋a，∴an＝a1＋(n－1)a，又∵a2，a3，a6成等比数列，∴a23＝a2a6，∴(a1＋2a)2＝(a1＋a)(a1＋5a)，∴a21＋4a1a＋4a2＝a21＋6a1a＋5a2，∴2a1a＋a2＝0，又a≠0，∴a＝－2a1，∴等比数列的公比为a3a2＝－3a1－a1＝3.(3)因为S11＝132，所以11a1＋a112＝132，即11a6＝132，所以a6＝12，又a6＋a9＝30，所以a9＝18，因为a6＋a12＝2a9，所以a12＝24.(4)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2，∴S5＝2×1－251－2＝62.[答案](1)2n－1(2)3(3)24(4)62[解题方略]1．等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn＝na1＋an2结合使用，体现整体代入的思想．2．解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q考法二等差、等比数列性质的综合运用[例2](1)(2019·启东模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若m为大于1的正整数，且am－1－a2m＋am＋1＝1，S2m－1＝11，则m＝_________.(2)已知{an}为各项均为正整数的等差数列，a1＋a27＝572，且存在正整数m，使a1，a14，am成等比数列，则所有满足条件的{an}的公差的和为________．(3)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为________．(4)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________．[解析](1)由S2m－1＝11，得2m－1a1＋a2m－12＝11，即(2m－1)am＝11，即am＝112m－1.由am－1－a2m＋am＋1＝1，得am－d－a2m＋am＋d＝1，即2am－a2m＝1，即a2m－2am＋1＝0，解得am＝1，所以1＝112m－1，解得m＝6.(2)由a1＋a27＝572，a1＋a27＝2a14，得a14＝286，使a1，a14，am成等比数列，所以a214＝a1×am，即a1×am＝2862，a1＝286－13d＝13(22－d)，am＝286×2861322－d＝22×22×1322－d，依题意，有公差d为正整数或0，{an}为各项均为正整数，m也为正整数，当d＝21、20、11、9、0时符合题意，所以所有满足条件的公差的和为：21＋20＋11＋9＝61.(3)由题意可设这5个数分别为a，－2a,4a，－8a,16a，故奇数项和与偶数项和的比值为a＋4a＋16a－2a－8a＝－2110.(4)设项数为2n，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数列的项数为10.[答案](1)6(2)61(3)－2110(4)10[解题方略]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．掌握运用等比数列性质解题的2个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{an}是等比数列，且an0，则{logaan}(a0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.考法三等差、等比数列的简单综合[例3](1)(2019·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3,6a5成等差数列，且a3＝3a22，则S3＝________.(2)已知函数f(x)＝x2－ax＋b(a＞0，b＞0)有两个不同的零点m，n，且m，n和－2三个数适当排序后，既可成为等差数列，也可成为等比数列，则a＋b的值为________．[解析](1)设各项都是正数的等比数列{an}的公比