（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第16讲 基本初等函数课件

第16讲基本初等函数课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．指数与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)logaMN＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝logbNlogba(a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0)．2．指数函数与对数函数的对比表解析式y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(a＞0且a≠1)图象定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R单调性0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数两图象的对称性关于直线y＝x对称[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅰ改编)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则a，b，c由小到大的顺序为________．解析：因为a＝log20.2log21＝0，b＝20.220＝1,0c＝0.20.30.20＝1，所以acb.答案：acb2．(2019·天津高考改编)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c由小到大的顺序________．解析：a＝log52log55＝12，而c＝0.50.20.51＝12，故ac；b＝log0.50.2log0.50.25＝2，而c＝0.50.20.50＝1，故cb.所以acb.答案：acb3．(2019·天津高考改编)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c由小到大的顺序________．解析：∵a＝log27log24＝2，b＝log38log39＝2且b1，c＝0.30.20.30＝1，∴cba.答案：cba4．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.解析：设x0，则－x0.∵当x0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又∵f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.答案：－35．(2019·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤23，则实数a的最大值是________．解析：由题意，得f(t＋2)－f(t)＝a(t＋2)3－(t＋2)－(at3－t)＝a[(t＋2)3－t3]－2＝a(t＋2－t)[(t＋2)2＋(t＋2)·t＋t2]－2＝2a(3t2＋6t＋4)－2＝2a[3(t＋1)2＋1]－2.∵存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤23有解，即－23≤2a[3(t＋1)2＋1]－2≤23有解，∴23≤a[3(t＋1)2＋1]≤43有解，∴23·13t＋12＋1≤a≤43·13t＋12＋1有解．设g(t)＝43·13t＋12＋1，则a≤g(t)max，又当t＝－1时，g(t)max＝43.∴当t＝－1时，a取得最大值43，满足题意．答案：43课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一基本初等函数的性质及应用[例1](1)已知幂函数f(x)＝xα，其中α∈－2，－1，12，1，2，3，则使f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的所有取值的集合为________．(2)(2019·高淳中学测试)已知函数f(x)＝2x＋log32＋x2－x，若不等式f1m3成立，则实数m的取值范围是________．(3)若不等式12x2＋ax122x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________．[解析](1)幂函数f(x)为奇函数，则α＝－1,1,3，f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则α的所有值为1,3.(2)由2＋x2－x0得x∈(－2,2)，又y＝2x在(－2,2)上单调递增，y＝log32＋x2－x＝log3x－2＋42－x＝log3－1－4x－2在(－2,2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式f1m3成立等价于不等式f1mf(1)成立，所以－21m2，1m1，解得12m1.(3)由指数函数的性质知y＝12x是减函数，因为12x2＋ax122x＋a－2恒成立，所以x2＋ax2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋20恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)0，即(a－2)(a－2＋4)0，即(a－2)(a＋2)0，故有－2a2，即a的取值范围是(－2,2)．[答案](1){1,3}(2)12，1(3)(－2,2)[解题方略]指数、对数函数的性质应用的注意点(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．考法二基本初等函数的图象及应用[例2](1)(2019·启东检测)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln(x1＋1)，e－x2＝lgx2，e－x3＝lnx3，则x1，x2，x3由小到大的顺序为________．(2)已知函数y＝2x＋12x＋1与函数y＝x＋1x的图象共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则i＝1k(xi＋yi)＝________.[解析](1)根据题意可知，实数x1，x2，x3分别是函数y＝e－x与y＝ln(x＋1)、y＝lgx、y＝lnx图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中作出函数y＝e－x、y＝ln(x＋1)、y＝lgx、y＝lnx的图象如图所示，由图知，x1x3x2.(2)如图，函数y＝2x＋12x＋1与函数y＝x＋1x的图象都关于点(0,1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0,1)成中心对称，且只有两个交点，所以i＝12xi＝0，i＝12yi＝2，则i＝1k(xi＋yi)＝2.[答案](1)x1x3x2(2)2[解题方略]对于指数、对数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数、对数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．考法三基本初等函数的综合应用[例3](1)已知函数f(x)＝x＋1，0≤x＜1，2x－12，x≥1，设a＞b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．(2)(2019·扬州中学检测)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|.若a＝f(－3)，b＝f14，c＝f(2)，则a，b，c由大到小的顺序是________．[解析](1)作出函数f(x)＝x＋1，0≤x＜1，2x－12，x≥1的图象如图所示，因为函数f(x)在[0,1)和[1，＋∞)上都是单调递增函数，所以若满足a＞b≥0，f(a)＝f(b)，则必有b∈[0,1)，a∈[1，＋∞)．由图可知，使f(a)＝f(b)成立的b的取值范围为b∈12，1，故f(a)∈32，2.所以b·f(a)∈34，2.(2)∵函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，∴y＝f(x)的图象关于y轴对称，即y＝f(x)是偶函数，∴f(－3)＝f(3)，且f14＝log214＝|log24|＝f(4)，∵当x＞0时，f(x)＝|log2x|＝log2x，x≥1，－log2x，0＜x＜1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)＜f(3)＜f(4)，∴b＞a＞c.[答案](1)34，2(2)b＞a＞c[解题方略]研究基本初等函数的综合问题，需要将图象和性质结合起来考虑，利用数形结合法求解，通过分离参数，将不等式问题转化为函数问题，然后利用函数的性质进行求解．[集训过关]1．(2019·启东中学期末)若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过点P2，12，则f(－1)＝________.解析：由题意知12＝a2，所以a＝22，所以f(x)＝22x，所以f(－1)＝22－1＝2.答案：22．(2019·盱眙中学测试)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c由大到小的顺序为_________．解析：a＝log372，c＝log1315＝log35，由对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，可得log35log372log33，所以ca1.借助指数函数y＝14x的图象易知b＝1413∈(0,1)，故cab.答案：cab3．已知函数f(x)＝2x－12x，函数g(x)＝fx，x≥0，f－x，x＜0，则函数g(x)的最小值是________．解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－12x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－12－x为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.答案：04．设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________．解析：令f(a)＝t，则f(t)＝2t，当t1时，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，得g′(t)＝3－2tln20，∴g(t)g(1)＝0，∴3t－1＝2t无解．当t≥1时，2t＝2t成立，由f(a)≥1可知，当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a＜1；当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23.答案：23，＋∞二、大题考法——求“稳”求“范”考法基本初等函数的图象与性质的综合应用[典例]已知函数f(x)＝－x＋log21－x1＋x.(1)求f12019＋f－12019的值；(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．[解](1)f(x)的定义域是(－1,1)，因为f(x)＝－x＋log21－x1＋x，f(－x)＝x＋log21＋x1－x＝－(－x)＋log21－x1＋x－1＝－－x＋log21－x1＋x＝－f(x)．即f(x)＋f(－x)＝0，所以f12019＋f－12019＝0.(2)令t＝1－x1＋x＝－1＋21＋x在(－1,1)内单调递减，y＝log2t在t＞0上单调递增，所以f(x)＝－x＋log21－x1＋x在(－1,1)内单调递减，所以当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)时，函数f(x)存在最小值f(a)＝－a＋log21－a1＋a.[解题方略]对基本初等函数图象和性质的考查有一定的深度，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．[集训过关]1．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)