（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何 第11讲 圆锥曲线中最值、范围问题课件

第11讲圆锥曲线中最值、范围问题课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．椭圆中的最值若F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P(x，y)为椭圆上任一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有：①|x|≤a；②OP∈[b，a]；③PF1∈[a－c，a＋c]；④PF1·PF2∈[b2，a2]；⑤∠F1PF2≤∠F1BF2；⑥椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)．2．双曲线中的最值若F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P(x，y)为双曲线上任一点，O为坐标原点，则有：①|x|≥a；②OP≥a；③PF1≥c－a；④双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)．3．抛物线中的最值若P(x，y)为抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点，F为焦点，则有：①x≥0；②PF≥p2；③抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近；④A(m，n)为一定点，则PA＋PF有最小值．[经典考题再回首](2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．解：(1)由题设得yx＋2·yx－2＝－12，化简得x24＋y22＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆．(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k0)．由y＝kx，x24＋y22＝1得x＝±21＋2k2.设u＝21＋2k2，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为k2，其方程为y＝k2(x－u)．由y＝k2x－u，x24＋y22＝1消去y，得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(*)设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(*)的解，故xG＝u3k2＋22＋k2，由此得yG＝uk32＋k2.从而直线PG的斜率为uk32＋k2－uku3k2＋22＋k2－u＝－1k.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u1＋k2，|PG|＝2ukk2＋12＋k2，所以△PQG的面积S＝12|PQ||PG|＝8k1＋k21＋2k22＋k2＝81k＋k1＋21k＋k2.设t＝k＋1k，则由k0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝8t1＋2t2在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为169.因此，△PQG面积的最大值为169.课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一最值问题[例1]已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA→·PB→≤0，则线段EF长度的最大值是________．(2)如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点．则PF→·PA→的最大值为________．[解析](1)过点C作CH⊥l于H，因为C到l的距离CH＝32＝3222＝r，所以直线l与圆C相离，故点P在圆C外．因为PA→·PB→＝|PA→||PB→|cos∠APB≤0，所以cos∠APB≤0，所以π2≤∠APBπ，圆C上存在两点A，B使得∠APB∈π2，π，由于点P在圆C外，故当PA，PB都与圆C相切时，∠APB最大，此时若∠APB＝π2，则PC＝2r＝22，所以PH＝PC2－CH2＝222－3222＝142，由对称性可得EFmax＝2PH＝14.(2)设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2.∵e＝ca＝12，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为x24＋y23＝1.∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.∵F(－1,0)，A(2,0)，PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，∴PF→·PA→＝x20－x0－2＋y20＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2，即当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.[答案](1)14(2)4[解题方略]最值问题的解题策略几何法通过利用曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)考法二范围问题[例2](1)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足PF1→·PF2→＝－a2，则双曲线离心率的取值范围为______．(2)(2019·南通联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝π2，则双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是________．[解析](1)设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，所以PF1→＝(－c－x，－y)，PF2→＝(c－x，－y)．因为PF1→·PF2→＝x2＋y2－c2＝－a2，所以x2＋y2＝c2－a2＝b2，所以点P在圆x2＋y2＝b2上，所以双曲线x2a2－y2b2＝1与圆x2＋y2＝b2存在交点，所以a≤b.又c2＝a2＋b2，所以e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2≥2.(2)不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F(－c，0)，B(0，b)，直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图，以O为圆心，A1A2为直径，作圆O，则P1，P2在圆O上，由图可知ba，bcb2＋c2a，即ba，b2c2a2b2＋a2c2⇒ba，b2－a2c2－a2b20⇒ba，b2－a2b2＋a2－a2b20⇒ba，b4－a4－a2b20⇒ba1，ba4－ba2－10，解得1ba25＋12，即双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是1，5＋12.[答案](1)[2，＋∞)(2)1，5＋12[解题方略](1)椭圆中范围问题可分为两类：一是涉及距离、面积的范围以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何元素的范围以及当这些元素存在范围时，求解与之有关的一些问题．(2)椭圆中的范围问题的求解方法：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，建立目标函数求解．[集训过关]1．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P在抛物线准线的射影为P′，抛物线的焦点为F，则F12，0，由抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离PP′＝PF，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝PF＋PA≥AF＝122＋22＝172.答案：1722．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－43.答案：－433．(2019·泰州中学检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：因为PF1＝4PF2，点P在双曲线的右支上，所以设PF2＝m，则PF1＝4m，由双曲线的定义，则PF1－PF2＝4m－m＝2a，所以m＝23a.又PF1＋PF2≥F1F2，即4m＋m≥2c，所以m≥25c，即23a≥25c，所以e＝ca≤53.又e1，所以双曲线离心率的取值范围为1，53.答案：1，534．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2a2c－x，x＝2a2c－ae＋2，有－a≤2a2c－ae＋2≤a，不等式各边同除以a，得－1≤2ac－1e＋2≤1，则2e－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0e1，所以17－32≤e1，所以椭圆离心率的最小值为17－32.答案：17－32二、大题考法——求“稳”求“范”考法一构造函数求最值[例1]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点和两个顶点在圆O：x2＋y2＝1上．(1)求椭圆C的方程；(2)若点F是C的左焦点，过点P(m,0)(m≥1)作圆O的切线l，l交C于A，B两点，求△ABF的面积的最大值．[解](1)由椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)可知C的焦点在x轴上，因为圆O与x轴的两个交点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，与y轴的两个交点的坐标分别为(0,1)，(0，－1)，根据题意，得b＝c＝1，故a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)因为点F是C的左焦点，则F(－1,0)．①当m＝1时，圆O的切线l的方程为x＝1，此时A，B的坐标分别为1，22，1，－22，则AB＝2.点F到l的距离为d＝2，所以△ABF的面积为S＝12·AB·d＝2.②当m＞1时，设圆O的切线l的方程为y＝k(x－m)(k≠0)，即kx－y－km＝0，因为l是圆O的切线，则|km|1＋k2＝1，即k2m2＝1＋k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立y＝kx－m，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2(k2m2－1)＝0，Δ＝(4k2m)2－8(1＋2k2)(k2m2－1)＝8k2＞0，则x1＋x2＝4k2m1＋2k2，x1x2＝2k2m2－11＋2k2.故AB＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k24k2m1＋2k22－8k2m2－11＋2k2＝22mm2＋1.点F到l的距离为d＝|－k－km|1＋k2＝|k|m＋11＋k2＝m＋1m.故△ABF的面积为S＝12·AB·d＝12·22mm2＋1·m＋1m＝2m＋1m2＋1.令f(m)＝2m＋1m2＋1(m＞1)，则f′(m)＝2m2＋1－22m＋1mm2＋12＝2－m2－2m＋1m2＋12，当m＞1时，f′(m)＜0，则f(m)在(1，＋∞)上单调递减，故f(m)＜f(1)＝2，即△ABF的面积S＜2.由①②可知，△ABF的面积的最大值为2.[解题方略]目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型考法二寻找不等关系解范围[例2]已知点C为圆(x＋1)2＋y＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且34≤OF→·OH→≤45时，求k的取值范围．[解](1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以CP＝QC＋QP＝QC＋QA＝22CA＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆，所以a＝2，c＝1，b＝a2－c2