（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课件

第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)[自主预习·探新知]1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．(2)含有的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为．全称量词∀全称量词∀x∈M，p(x)2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“”．存在量词∃存在量词∃x0∈M，p(x0)思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．∀x∈M，﹁p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)[基础自测]1．思考辨析(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．()(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．()(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋30的否定是∀x∈/R，x2－3x＋3≤0.()[答案](1)√(2)×(3)×2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“﹁p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案]C3．下列四个命题中的真命题为()A．∃x0∈Z,14x03B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋20D[当x∈R时，x2＋x＋2＝x＋122＋740，故选D.][合作探究·攻重难]全称命题和特称命题的概念及真假判断例1、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sinα1[解](1)是全称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题，因为∀α∈R，sinα∈[－1,1]，所以该命题是假命题．[规律方法]1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．[跟踪训练]1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2B[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x0，所以D是假命题．](2)下列命题中，真命题是()A．∃x∈0，π2，sinx＋cosx≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x22x＋1C．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈π2，π，tanxsinxB[(1)对于选项A，sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x3时，(x－1)2－20，∴此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝x＋122＋340，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；对于选项D，当x∈π2，π时，tanx0，sinx0，命题显然不成立．故选B.]含有一个量词的命题的否定例2、(1)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∈/R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x∈/R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；②p：所有的正方形都是菱形；③p：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.[思路探究]先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．(1)[解析]原命题的否定为∃x∈R，x2＝x，故选D.[答案]D(2)[解]①﹁p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题．因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0恒成立．②﹁p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．③﹁p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0.[规律方法]对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．[跟踪训练]2．(1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∈/(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∈/(0，＋∞)，lnx0＝x0－1A[特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1.](2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；②q:存在一个实数x0，使得x20＋x0＋1≤0；③r：等圆的面积相等，周长相等；④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[解]①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是﹁p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p是真命题．②这一命题的否定形式是﹁q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得﹁q是真命题．③这一命题的否定形式是﹁r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r是假命题．④这一命题的否定形式是﹁s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以﹁s是假命题.由全称(特称)命题的真假确定参数的范围[探究问题]1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？提示：先求﹁p，再求参数的取值范围．2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．例3、(1)若命题p“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是________．(2)已知命题p：∃x∈R,9x－3x－a＝0，若命题p是真命题，求实数a的取值范围.[思路探究](1)先求﹁p，再求参数的取值范围．(2)令3x＝t，看作一元二次方程有解问题．[解析](1)﹁p：∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题．则Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤22[答案][－22，22](2)设3x＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，则9x－3x－a＝0⇔a＝(3x)2－3x⇔a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，设f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)，则f(t)＝t－122－14，当t＝12时，f(t)min＝－14，则函数f(t)的值域是－14，＋∞，所以实数a的取值范围是－14，＋∞.母题探究：1.(变条件)若将本例题(2)条件“∃x∈R”，改为“∃x∈[0,1]”，其他不变，试求实数a的取值范围．[解]设3x＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3]．a＝t2－t，∵t2－t＝t－122－14，∴a＝t2－t在t∈[1,3]上单调递增．∴t2－t∈0，6.即a的取值范围是0，6.2．(变条件)将本例题(2)换为“∀x∈0，π4，tanx≤m是真命题”，试求m的最小值．[解]由已知可得m≥tanxx∈0，π4恒成立．设f(x)＝tanxx∈0，π4，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为fπ4＝tanπ4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.[规律方法]应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.[当堂达标·固双基]1．（2019年中卫模拟）下列命题中是全称命题，且为假命题的是()A．存在x0∈R，sinx0＋cosx0＝2B．偶函数图象关于y轴对称C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解D．∀x∈N，x3＞x2【答案】D[A，C中命题是特称命题，故排除．B为省略量词的全称命题，且为真命题．D为全称命题．当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是假命题．]2．（2018年百色期中）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D[全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]3．（2019年西湖区校级月考）命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为﹁p：________.【答案】特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0[命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.]4．（2018年湘潭期末）命题“∀x∈R，12x＋40”的否定是________．【答案】∃x0∈R，12x0＋4≤0[“∀x∈R，12x＋40”的否定是“∃x0∈R，12x0＋40或12x0＋