（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何

第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R对称轴顶点性质离心率e＝y≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx轴y轴(0,0)12.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．x1＋x2＋p当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；若Δ0时，直线与抛物线公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴，此时直线与抛物线有个公共点．[提示]可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？两一没有平行或重合一[基础自测]1．思考辨析(1)抛物线关于顶点对称．()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．()[答案](1)×(2)√(3)√2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．10B．8C．6D．4B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.2[F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.][合作探究·攻重难]抛物线几何性质的应用例1、(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，求抛物线的标准方程．[解](1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p0)则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.[答案]y2＝3x或y2＝－3x(2)由已知得ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，解得ba＝3，即渐近线方程为y＝±3x.而抛物线准线方程为x＝－p2，于是A－p2，－3p2，B－p2，3p2，从而△AOB的面积为12·3p·p2＝3，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.[规律方法]抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p2.[跟踪训练]1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝36xB．y2＝－33xC．y2＝±36xD．y2＝±33xC[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A±32，12(取点A在x轴上方)，则有14＝±32a，解得a＝±36，所以抛物线方程为y2＝±36x.故选C．]与中点弦、焦点弦有关的问题例2、(1)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.①求该抛物线的方程；②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．[思路探究](1)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；法二：设直线AB的方程，建立方程求解．(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．②根据(1)求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由OC→＝OA→＋λOB→，可用λ表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值．[解](1)法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝8x1，y22＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝y1－y2x1－x2，∴k＝4.∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立y2＝8x，y＝kx－4＋1，消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数得y1＋y2＝8k.又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.(2)①直线AB的方程是y＝22·x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.②由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[规律方法]直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(3)“中点弦”问题解题策略两法[跟踪训练]2．(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．y2＝4x[设抛物线C的方程为y2＝2px(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．则y21＝2px1①y22＝2px2②，②－①整理得y2－y1x2－x1＝2py1＋y2又y2－y1x2－x1＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.因此抛物线C的方程为y2＝4x.](2)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程.[解]因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1，此时|AB|＝4，不合题意，所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)，由y＝kx－1，y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k2＋4k2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝2k2＋4k2＋2＝8，所以2k2＋4k2＝6，解得k＝±1.所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.直线与抛物线的位置关系例3、(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[思路探究](1)直线y＝kx－k过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断．(2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．[解析](1)直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y2＝2px(p0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C．[答案]C(2)由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)由方程组y－1＝kx＋2，y2＝4x(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①.Ⅰ：当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝14，这时，直线l与抛物线只有一个公共点14，1.Ⅱ：当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．a．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．b．由Δ0，即2k2＋k－10，解得－1k12，于是，当－1k12，且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．c．由Δ0，即2k2＋k－10，解得k－1或k12.于是k－1或k12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．综上，当k＝0或k＝－1或k＝12时，直线l与抛物线只有一个公共点．当－1k12，且k≠0时直线l与抛物线有两个公共点．当k－1或k12时，直线l与抛物线无公共点．[规律方法]直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点.[跟踪训练]3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[解]因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组y＝a＋1x－1，y2＝ax只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解x＝－1，y＝－1.(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－45.所以原方程组有唯一解x＝－5，y＝－2.综上，实数a的取值集合是－1，－45.[探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？提示：两条直线的斜率互为相反数．抛物线性质的综合应用2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？提示：法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4t－3t2－8|5＝|3t2－4t＋8|5＝153t－232－43＋8＝153t－232＋203＝35t－232＋43.∴当t＝23时，d有最小值43.法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由y＝－x2，4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋