（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性

第二章圆锥曲线与方程第2课时椭圆的标准方程及性质的应用2.2.2椭圆的简单几何性质学习目标：1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)[自主预习·探新知]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔；点P在椭圆内部⇔；点P在椭圆外部⇔.x20a2＋y20b21x20a2＋y20b2＝1x20a2＋y20b212．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个关于x的一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交解Δ0相切解Δ0相离解Δ0两一＝无思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？(2)直线y＝kx＋1与椭圆x24＋y23＝1有怎样的位置关系？[提示](1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x24＋y23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．[基础自测]1．思考辨析(1)若点P(x0，y0)在椭圆x24＋y23＝1的内部，则有x204＋y2031.()(2)直线y＝x与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)不一定相交．()(3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆x29＋y216＝1相切．()[答案](1)√(2)×(3)√2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定C[联立y＝x＋1，x2＋y22＝1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]3．若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________.(－2，2)[∵点A在椭圆内部，∴a24＋12＜1，∴a2＜2，∴－2＜a＜2.][合作探究·攻重难]直线与椭圆的位置关系例1、对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．[思路探究]联立两个方程―→消去y得到关于x的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解]联立方程组y＝x＋m，①x24＋y2＝1.②将①代入②得：x24＋(x＋m)2＝1，整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当Δ＞0，即－5＜m＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．[规律方法]代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．[跟踪训练]1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A．63B．－63C．±63D．±33C[由y＝kx＋2x23＋y22＝1得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0解得k＝±63.](2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是________．54，5[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m≤1，即m≥54，又0m5，故m∈54，5.]弦长及中点弦问题例2、过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．(1)求此弦所在的直线方程．(2)求此弦长.[思路探究](1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．[解](1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.又M为AB的中点，∴x1＋x22＝42k2－k4k2＋1＝2，解之得k＝－12.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，即kAB＝－12.又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由x＋2y－4＝0，x216＋y24＝1，得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋－122·42－4×0＝25.[规律方法]1.直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋1k2(y1－y2)2＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2(k为直线斜率)．提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，①②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.[跟踪训练]2．(1)已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．x＋2y－8＝0[由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，所以k＝－12.所以直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.](2)已知点P(4,2)是直线l：x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．32[设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，即y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2.因为kAB＝－12，AB中点为(x0，y0)，x0＝4，y0＝2，所以－12＝－2b2a2，即a2＝4b2.所以该椭圆的离心率为e＝1－b2a2＝32.](3)已知动点P与平面上两定点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率的积为定值－12.①试求动点P的轨迹方程C；②设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝423时，求直线l的方程．[解]①设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPA·kPB＝－12.∴yx＋2·yx－2＝－12，化简整理得x22＋y2＝1.故P点的轨迹方程C是x22＋y2＝1(x≠±2)．②设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y＝kx＋1，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.∴x1＋x2＝－4k1＋2k2，x1·x2＝0.|MN|＝1＋k2·x1＋x22－4x1·x2＝423，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．∴k＝±1，经检验符合题意．∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.与椭圆有关的综合问题[探究问题]1．直线y＝kx＋1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x＝0，那么直线x＝ky＋1表示什么样的直线？提示：直线x＝ky＋1，表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0.2．如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？提示：(1)设AB的中点为P，则|OP|＝12|AB|，(2)OA→·OB→＝0.例3、如图2­2­7，已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0，2)，且离心率e＝22.图227(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G－94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．[思路探究](1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若dr，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若dr，则点G在圆内．法二：只需判断GA→·GB→的符号，若GA→·GB→＝0，则点G在圆上；若GA→·GB→0，则点G在圆外；若GA→·GB→0，则点G在圆内．[解](1)由已知得，b＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝2，c＝2.所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1.(2)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．由x＝my－1，x24＋y22＝1得(m2＋2)y2－2my－3＝0，所以y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－3m2＋2，从而y0＝mm2＋2.所以|GH|2＝x0＋942＋y20＝my0＋542＋y20＝(m2＋1)y20＋52my0＋2516.|AB|24＝x1－x22＋y1－y224＝1＋m2y1－y224＝1＋m2[y1＋y22－4y1y2]4＝(1＋m2)(y20－y1y2)，故|GH|2－|AB|24＝52my0＋(1＋m2)y1y2＋2516＝5m22m2＋2－31＋m2m2＋2＋2516＝17m2＋216m2＋20，所以|GH||AB|2.故点G－94，0在以线段AB为直径的圆外．法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则GA→＝x1＋94，y1，GB→＝x2＋94，y2.由x＝my－1，x24＋y22＝1得(m2＋2)y2－2my－3＝0，所以y1＋y2＝2mm