（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1 指数与指数幂

第二章基本初等函数(Ⅰ)第1课时根式2.1.1指数与指数幂的运算学习目标：1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)[自主预习·探新知]1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naRn为偶数±na[0，＋∞)xn＝a(3)根式式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．根指数被开方数2．根式的性质(n1，且n∈N*)(1)n为奇数时，nan＝a.(2)n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(1)(na)n的含义是什么？[提示](na)n是实数a的n次方根的n次幂．a|a|0偶次a－a(2)(na)n中实数a的取值范围是任意实数吗？[提示]不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.[基础自测]1．思考辨析(1)实数a的奇次方根只有一个．()(2)当n∈N*时，(n－2)n＝－2.()(3)π－42＝π－4.()[答案](1)√(2)×(3)×2.416的运算结果是()A．2B．－2C．±2D．±2A[416＝424＝2.]3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2B.5mC.6mD.5－mC[当m0时，6m没有意义，其余各式均有意义．]4．若x3＝－5，则x＝________.－35[若x3＝－5，则x＝3－5＝－35.][合作探究·攻重难]例1(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．(2)已知x6＝2016，则x＝________.(3)若4x＋3有意义，求实数x的取值范围为________.n次方根的概念问题(1)3；±2(2)±62016(3)[－3，＋∞][(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.(2)因为x6＝2016，所以x＝±62016.(3)要使4x＋3有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．][规律方法]n次方根的个数及符号的确定1n的奇偶性决定了n次方根的个数；2n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.[跟踪训练]1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：①6－32n；②5a2；③6－52n＋1；④9－a2，其中无意义的有()A．1个B．2个C．3个D．0个A[①中(－3)2n0，所以6－32n有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋10，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.]例2化简下列各式：(1)5－25＋(5－2)5；(2)6－26＋(62)6；(3)4x＋24；利用根式的性质化简求值[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝x＋2，x≥－2.－x－2，x－2.[规律方法]正确区分nan与nan1nan已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；2nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性.[跟踪训练]2．若9a2－6a＋1＝3a－1，求a的取值范围．[解]∵9a2－6a＋1＝3a－12＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥13.[探究问题]1．当ab时，a－b2等于多少？有限制条件的根式的运算提示：当ab时，a－b2＝a－b.2．等式a2＝a及(a)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时，两式恒成立；当a0时，a2＝－a，(a)2无意义．例3(1)若x0，则x＋|x|＋x2x＝________.(2)若－3x3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值.思路探究：(1)由x0，先计算|x|及x2，再化简．(2)结合－3x3，开方，化简，再求值．(1)－1[∵x0，∴|x|＝－x，x2＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋x2x＝x－x－1＝－1.][解](2)x2－2x＋1－x2＋6x＋9＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|，当－3x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1x3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝－2x－2，－3x≤1，－4，1x3.母题探究：1.将本例(2)的条件“－3x3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？[解]原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－10，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.2．在本例(1)条件不变的情况下，求3x3＋x2|x|.[解]3x3＋x2|x|＝x＋|x||x|＝x＋1.[解]原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－10，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.[解]3x3＋x2|x|＝x＋|x||x|＝x＋1.[规律方法]带条件根式的化简1有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.2有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.[当堂达标·固双基]1．(2019年潮州模拟）下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C．3D．4【答案】B[①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.]2．（2018年浙江期末）已知m10＝2，则m等于()A.102B．－102C.210D．±102【答案】D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±102.]3.（2019重庆模拟）π－42＋3π－33＝________.【答案】1[π－42＋3π－33＝4－π＋π－3＝1.]4.（2019年河南模拟）设x0，则(－x)2＝________.【答案】－x[∵x0，∴－x0，∴－x2＝－x.]5．（2018年河南期中）已知－1x2，求x2－4x＋4－x2＋2x＋1的值.【答案】原式＝x－22－x＋12＝|x－2|－|x＋1|.因为－1x2，所以x＋10，x－20，所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.