（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小

第一章集合与函数概念第一课时函数的单调性1.3.1单调性与最大（小）值学习目标：1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3.会求一些具体函数的单调区间．(重点)[自主预习·探新知]1．增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时条件都有f(x)＜f(f(x)都有f(x)_____＞f结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数任意f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)增减图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？[提示]定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？[提示]不是．y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．增函数或减函数单调区间[基础自测]1．思考辨析(1)因为f(－1)f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．()(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)f(1)．()(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．()[答案](1)×(2)√(3)×2．函数y＝f(x)的图象如图1­3­1所示，其增区间是()图1­3­1A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]C[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是()A．y＝－1xB．y＝xC．y＝x2D．y＝1－xD[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．(－∞，1)[因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．][合作探究·攻重难]例1求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x1；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.求函数的单调区间[解](1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3，x≥0，－x2－2x＋3，x0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．[规律方法]1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“,”隔开，如本例(3)．[跟踪训练]1．(1)根据如图1­3­2说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；图1­3­2(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．[解](1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．(2)先画出f(x)＝x2－2x－3，x－1或x3，－x2－2x－3，－1≤x≤3的图象，如图．所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．例2证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数.思路探究：设元0x1x21―→作差：fx1－fx2――→变形判号：fx1fx2――→结论减函数函数单调性的判定与证明[证明]设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2＋1x2＝(x1－x2)＋1x1－1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)1－1x1x2＝x1－x2－1＋x1x2x1x2∵0x1x21，∴x1－x20,0x1x21，则－1＋x1x20，∴x1－x2－1＋x1x2x1x20，即f(x1)f(x2)，∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．[规律方法]利用定义证明函数单调性的步骤1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.2作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子3定号：确定fx1－fx2的符号4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.[跟踪训练]2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx－1在(1，＋∞)上是减函数．[证明]f(x)＝2＋2x－1，设x1x21，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1，因为x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．[探究问题]1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？函数单调性的应用提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)f(b)时，ab；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)f(b)时，ab.2．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是什么？提示：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a≤2.例3已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求f(x)的解析式．(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围.思路探究：待定系数法求fx――→数形结合分析fx的对称与区间的关系――→建立不等式求a的范围[解](1)∵f(x)＝x2＋ax＋b过点(1,4)和(2,5)，∴1＋a＋b＝4，4＋2a＋b＝5，解得a＝－2，b＝5，∴f(x)＝x2－2x＋5.(2)由f(x)在区间[1,2]上不单调可知1－a22，即－4a－2.母题探究：1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”，求实数a的取值范围．[解]由f(x)在区间[1,2]上单调可知－a2≤1或－a2≥2，即a≤－4或a≥－2.2．若把本例改为“函数g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且g(2x－3)g(5x＋6)”，求实数x的取值范围．[解]∵g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且g(2x－3)g(5x＋6)，∴2x－35x＋6，即x－3.所以实数x的取值范围为(－∞，－3)．[解]由f(x)在区间[1,2]上单调可知－a2≤1或－a2≥2，即a≤－4或a≥－2.[解]∵g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且g(2x－3)g(5x＋6)，∴2x－35x＋6，即x－3.所以实数x的取值范围为(－∞，－3)．[规律方法]函数单调性的应用1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.2若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.[当堂达标·固双基]1．（2019春•汉台区期末）如图1­3­3是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性图1­3­3[答案]C[由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]2．（2019春•海珠区期末）函数f(x)在R上是减函数，则有()A．f(3)f(5)B．f(3)≤f(5)C．f(3)f(5)D．f(3)≥f(5)[答案]C[∵35，且f(x)在R上是减函数，∴f(3)f(5)．]3．（2019春•重庆期末）如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为()A．b＝3B．b≥3C．b≤3D．b≠3[答案]C[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.]4．（2019年昆明模拟）已知函数f(x)＝kx(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________.[答案](－∞，0)[结合反比例函数的单调性可知k0.]5．证明：函数y＝xx＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[证明]设x1x2－1，则y1－y2＝x1x1＋1－x2x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1.∵x1x2－1，∴x1－x20，x1＋10，x2＋10，∴x1－x2x1＋1x2＋10，即y1－y20，y1y2，∴y＝xx＋1在(－1，＋∞)上是增函数．