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第一章集合与函数概念第二课时集合的表示1.1.1集合的含义与表示学习目标:1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,感受集合语言的意义和作用.(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.(重点、难点)[自主预习·探新知]1.列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.一般形式为A={x∈I|p},其中x叫做代表元素,I是代表元素x的取值范围,p是各元素的共同特征.一一列举花括号“{}”共同特征思考:(1)不等式x-23的解集中的元素有什么共同特征?(2)如何用描述法表示不等式x-23的解集?[提示](1)元素的共同特征为x∈R,且x5.(2){x|x5,x∈R}.[基础自测]1.思考辨析(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.()(3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合.()[答案](1)×(2)×(3)√2.方程x2=4的解集用列举法表示为()A.{(-2,2)}B.{-2,2}C.{-2}D.{2}B[由x2=4得x=±2,故用列举法可表示为{-2,2}.]C[该集合是点集,故可表示为{(x,y)|y=3x+1},选C.]4.不等式4x-57的解集为________.{x|4x-57}[用描述法可表示为{x|4x-57}.]3.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是()A.{x|y=3x+1}B.{y|y=3x+1}C.{(x,y)|y=3x+1}D.{y=3x+1}[合作探究·攻重难]例1用列举法表示下列给定的集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.(2)小于8的质数组成的集合B.(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C.(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.用列举法表示集合[解](1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}.(2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B={2,3,5,7}.(3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,32.所以C=-1,32.(4)由y=x+3,y=-2x+6,得x=1,y=4.所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D={(1,4)}.[规律方法]用列举法表示集合的个步骤求出集合的元素把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次用花括号括起来提醒:二元方程组的解集,函数的图象点形成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{2,3,5,-1}.[跟踪训练]1.用列举法表示下列集合:(1)方程组x+y=2,x-y=0的解集;(2)A={(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}.[解](1)由x+y=2,x-y=0,解得x=1,y=1,故该方程组的解集为{(1,1)}.(2)因为x∈N,y∈N,x+y=3,所以x=0,y=3或x=1,y=2或x=2,y=1或x=3,y=0.故A={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.例2用描述法表示下列集合:(1)比1大又比10小的实数的集合;(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合.用描述法表示集合[解](1){x∈R|1x10}.(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x0,且y0}.(3){x|x=3n+1,n∈N}.[规律方法]描述法表示集合的个步骤[跟踪训练]2.用描述法表示下列集合:(1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合;(2)不等式2x-35的解组成的集合;(3)如图111中阴影部分的点(含边界)的集合;(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.图111[解](1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y)|y=-2x2+x}.(2)不等式2x-35的解组成的集合可表示为{x|2x-35},即{x|x4}.(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x,y)|-1≤x≤32,-12≤y≤1,xy≥0}.(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}.[探究问题]1.下面三个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.(1)它们各自的含义是什么?(2)它们是不是相同的集合?集合表示方法的综合应用提示:(1)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,满足条件y=x2+1中的x∈R,所以实质上{x|y=x2+1}=R;集合②的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以实质上{y|y=x2+1}={y|y≥1};集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可以认为是满足y=x2+1的数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内的点(x,y)构成的集合,且这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}.(2)由(1)中三个集合各自的含义知,它们是不同的集合.2.设集合A={x|ax2+x+1=0}.(1)构成集合A的元素是什么?(2)方程ax2+x+1=0是关于x的一元二次方程吗,为什么?提示:(1)构成集合A的元素是方程ax2+x+1=0的根.(2)不一定.当a=0时,方程是关于x的一元一次方程;当a≠0时,方程是关于x的一元二次方程.例3集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.思路探究:A中只有一个元素――→等价转化方程kx2-8x+16=0只有一解――→分类讨论求实数k的值[解](1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.母题探究:1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变,求实数k的值组成的集合.[解]由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.故Δ=64-64k0,即k1.所以实数k组成的集合为{k|k1}.[解]由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.故Δ=64-64k0,即k1.所以实数k组成的集合为{k|k1}.2.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.[解]由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,合题意;②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≤0,即k≥1.综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.[解]由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,合题意;②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≤0,即k≥1.综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.[规律方法]1.若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如例3中集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.2.在学习过程中要注意数学素养的培养,如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.1.(2018秋•沙市区校级期末)已知集合A={2,4,6},且当a∈A时,6-a∈A,则a为()A.2B.4C.0D.2或4【解答】解:∵集合A={2,4,6},且当a∈A时,6-a∈A,∴a=2时,6-a=4∈A,成立;a=4时,6-a=2∈A,成立;a=6时,6-a∉A,不成立.综上,a为2或4.故选:D.[当堂达标·固双基]2.(2018秋•兴庆区校级期末)方程x2=x的所有实数根组成的集合为()A.(0,1)B.{(0,1)}C.{0,1}D.{x2=x}【解答】解:解方程x2=x,得x=0或x=1,∴方程x2=x的所有实数根组成的集合为{0,1}.故选:C.3.(2019•兰州模拟)已知集合A={x∈N|-1<x<4},则集合A中的元素个数是()A.3B.4C.5D.6【解答】解:集合A={x∈N|-1<x<4}={0,1,2,3}.即集合A中的元素个数是4.故选:B.4.(2019春•邹城市期中)设集合A={x|x2-x-2=0},B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B是()A.{-4,4}B.{-4,-1,1,4}C.{0,1}D.{-1,1}【解答】解:解集合A方程,x2-x-2=0得到x=2,x=-1,∵y∈A,即:y=2,y=-1,∴集合B|x|=y+2,y∈A,得:|x|=y+2=4,|x|=y+2=1,故:x=±4,x=±1,∴集合B={-4,-1,1,4}故选:B.5.用适当的方法表示下列集合:(1)方程组2x-3y=14,3x+2y=8的解集;(2)所有的正方形;(3)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.[解](1)解方程组2x-3y=14,3x+2y=8,得x=4,y=-2,故解集为{(4,-2)}.(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形},简写为{正方形}.(3)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
本文标题:(同步精品课堂)2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示
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