（陕西专用）2019版中考数学一练通 第二部分 重点题型突破 专项二 解答题专项 十一 几何综合探究

专项二解答题专项十一、几何综合探究题(针对陕西中考第25题)中考解读：中考解读：几何综合探究题为陕西中考解答题的必考题，题位为第25题，分值为12分。题目综合性强，多涉及类比的思想，设问方式多样，要求学生逐步突破。涉及的图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。涉及的图形变换为平移变换、对称变换、旋转变换。涉及的知识点有全等和相似的性质和判定、勾股定理、一元二次方程、二次函数的最值、圆的有关性质等。主要考查的类型有(1)探究线段长度的最值问题；(2)探究图形面积的最值问题；(3)探究图形面积的分割问题；(4)探究符合条件的点的问题。解答题专项类型1探究线段长度的极值和定值问题核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想方法:数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。3.常用解题方法：代数法和几何法。解答题专项(一)单动点问题常见模型一、利用三角形的三边关系解决最值问题【问题情境】1.如图①，直线l表示河岸，河两岸有A,B两村,现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题,那么水塔修在何处,它到A，B两村的距离和最短?2.如图②，直线l表示河岸，河岸同侧有A，B两村,现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题,那么水塔修在何处,它到A，B两村的距离差最长?【通解通法】知识必备：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的两边之差小于第三边。解答题专项【问题解决】三角形的两边之和大于第三边(1)找点。如图③，连接AB交直线l于点P,点P即为所求。(2)说理。如图③，在直线上另取一点P′。在△AP′B中，AP′+P′BAB，当A，P，B三点共线时，AP+PB=AB,此时AP+PB最短。【反思】此模型实际上是线段公理的证明和有效说理。三角形的两边之差小于第三边(1)找点。如图④，延长AB交直线l于点P,则|PA-PB|最大。(2)说理。如图④，在直线l上找一点P′,连接P′B，P′A。在△AP′B中，|P′A-P′B|AB,当A,B,P三点共线时，|PA-PB|=AB，故此时｜PA-PB｜最大。解答题专项常见模型二、垂线段最短【问题情境】1.如图⑤，P为线段BC上一动点，当点P运动到何处时，AP最短？【通解通法】知识必备：垂线段最短。【问题解决】垂线段最短(1)找点。如图⑥，过点A作AP⊥BC交BC于点P,点P即为所求。(2)说理。垂线段最短。解答题专项(二)双动点问题常见模型三、轴对称的性质、垂线段最短【问题情境】1.如图⑦，在直线l1和l2上分别找两点B，C,使△ABC的周长最小？2.如图⑧，在△ABC中，AB=2,∠BAC=45°，AD平分∠BAC,M，N分别为AD,AB上的两个动点，怎样确定点M,N能使BM+MN的值最小？【通解通法】知识必备：(1)轴对称的性质；(2)垂线段最短。解答题专项【问题解决】轴对称的性质(1)找点。如图⑨，分别找出点A关于直线l1和l2的对称点A1和A2,连接A1A2分别交直线l1和l2于点B,C,此时△ABC的周长最小。(2)说理。由对称性可知，AB=A1B,AC=A2C,故△ABC的周长为AB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2。根据“两点之间，线段最短”可知，此时△ABC的周长最小。垂线段最短(1)找点。如图⑩，找出点B关于AD的对称点B′,过点B′作B′N⊥AB分别交AD于点M,交AB于点N。M，N即为所求。(2)说理。∵AD平分∠BAC,∴点B关于AD的对称点B′在线段AC上，∴B′M=BM。又∵B′N⊥AB于点N,∴BM+MN=B′M+MN=B′N。由垂线段最短可知，此时BM+MN的值最小。解答题专项常见模型四、平移+将军饮马【问题情境】1.如图11，在直线l上找出两个动点P，Q(P，Q两动点之间的距离为定值)，使AP+PQ+BQ的值最小。【通解通法】知识必备：(1)平移的性质；(2)轴对称的性质。【问题解决】(1)找点。如图12,将点A沿过点A且与直线l平行的直线平移PQ长度得到定点A′,作定点A′关于直线l的对称点A″,连接A″B,交直线l于点Q，将点Q沿直线l向左平移PQ长度，得到点P，连接AP，则AP+PQ+BQ的值最小。(2)说理。请自己完成证明过程。解答题专项常见模型五、动点定值模型“平行定位”法【问题情境】1.如图13，在△ABC中，BC=a，M是BC上一动点，连接AM,取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C,求动点P的路径长。【通解通法】知识必备：(1)三角形中位线；(2)平行线间的距离处处相等。【问题解决】(1)如图14，过点P作直线EF∥BC分别交AB，AC于点E，F。点P运动的轨迹在线段EF上。解答题专项(2)说理。由动点M找动点P的运动轨迹，过点P，点A分别作BC的垂线交BC于点G，H(如图)，则PG∥AH。∵P为AM的中点，∴PG=AH。又∵AH为BC边上的高线，∴点P到BC的距离为定值。在△ABC中，EF=BC=a，故动点P的路径长为a。“夹角定位”法(又称“旋转+直线型”)理论依据：平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线上运动。如图15，已知直线l与定点A，若直线BA与直线l的夹角α确定，则动点B始终在直线AB上。如图16，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P为BC上一动点，AP=AD,∠PAD=90°，线段BC长为定值，在点P从点B向点C运动的过程中，动点D运动的路线是什么，长度等于多少？12121212解答题专项【问题解决】易证△ABP≌△ACD，故动点D的运动轨迹是一条线段，该线段所在直线垂直于BC，且点D运动的路线的长度为BC长。此类问题分三步进行思考：(1)找准主动点、从动点以及绕哪一定点运动；(2)由旋转不变性可知，主动点的轨迹和从动点的轨迹相同，位置不同。分析从动点、主动点与定点之间的数量关系(比值)，从而由一个动点确定另一个动点的运动轨迹的长度；(3)整体捆绑，画出图形，解决问题。解答题专项例1(2018·陕西中考)【问题提出】(1)如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆的半径R的值为。【问题探究】(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值。【问题解决】(3)如图③，AB，AC，是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，所对的圆心角为60°。新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E，F，也就是，分别在，线段AB和AC上选取点P，E，F。由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP。为了快捷、环保和节约成本，要使线段PE，EF，FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值。(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)解答题专项解答题专项解答题专项类型2探究图形面积的最值问题核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。3.常用解题方法：代数法和几何法。常见模型一【问题情境】1.如图①，在△ABC中，BC=a,∠A=α，那么△ABC的面积和周长是否有最值？【通解通法】知识必备：(1)三角形的面积公式;(2)同弧所对的圆周角相等。【问题解决】如图②，BC确定，BC边所对的角确定，故点A在△ABC的外接圆的上。因为BC为定值，所以当BC边上的高最大时△ABC的面积最大，而当点A在的中点A′时,△ABC为等腰三角形(BC为底边)，此时BC边上的高最大，则△ABC的面积最大。解答题专项如图③，延长BA到点C′,使AC′=AC,连接C′C,取BC的中点O,以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BO交⊙O于点D,连接DC，则∠D=∠C′,B，C，C′，D四点共圆。因为BD为直径，所以当点A在点O时，△ABC为等腰三角形(BC为底边)，此时△ABC的周长最大。结论：定边对定角，等腰时面积最大，周长最大。常见模型二【问题情境】如图④,在△ABC中，∠BAC=45°，高AD=4，则线段BC的最小值为多少，△ABC的面积的最小值是多少？【通解通法】知识必备：(1)三角形的面积公式；(2)同弧所对的圆周角相等；(3)同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；(4)垂径定理。解答题专项【问题解决】如图⑤，作△ABC的外接圆⊙O,连接OA，OB，OC,过点O作OE⊥BC交BC于点E。设BC=2x,则在Rt△BOE中，BE=OE=x，∴OB=OA=x。∴OA+OE≥AD,即x+x≥4,解得x≥4(-1)，即BCmin=8(-1)。∵高AD为定值，∴△ABC的面积的最小值为16(-1)，此时AB=AC,△ABC为等腰三角形，此时，易证△ABC的周长也最小。结论：定角夹定高，等腰时面积最小，周长最小。常见模型三【问题情境】如图⑥，在△ABC中，AB=c，BC=a,∠B=α，高AD=h,求S△ABC的定值和最值。【通解通法】知识必备：解直角三角形及锐角三角函数。【问题解决】如图⑥，在Rt△ABD中，h=csinα，所以S△ABC=ah=acsinα。所以S△ABC的定值为acsinα，最大值为ac。注：sinα≤1,当sinα=1时，α=90°。2222212121212解答题专项常见模型四【问题情境】如图⑦，在四边形ABCD中，对角线AC=m,BD=n,∠AOB=α，求四边形ABCD的面积的最大值。【通解通法】知识必备：(1)解直角三角形；(2)斜大于直。【问题解决】如图⑧，分别过点A，C作AF⊥BD,CG⊥BD,垂足分别为F，G，则S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD。在Rt△AOF和Rt△COG中，AF=OA·sinα,CG=OC·sinα,∴S四边形ABCD=BD·AF+BD·CG=n(AF+CG)=(OA+OC)nsinα=mnsinα。∴四边形ABCD的面积的最大值为mn。121212121212解答题专项注：sinα≤1,当sinα=1时，α=90°。面积定值或最值问题常见其他考点：面积与图形变换(旋转、平移、对称、位似)相结合；面积与函数相结合等等。知识必备：(1)相似三角形的相似比等于对应高的比；解答题专项例2(2016·陕西中考)【问题提出】(1)如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形。【问题探究】(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它的周长的最小值；若不存在，请说明理由。【问题解决】(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3m，AD=6m。现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=m，∠EHG=45°。经研究，只有当点E，F，G分别在边AD，AB，BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件。试问：能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由。55解答题专项解答题专项解答题专项解答题专项类型3探究图形面积的分割问题核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。3.解题方法：代数法和几何法。(一)过定点的三角形面积等分线常见模型一1.如图①，在△ABC中，过点A作一条直线，将三角形的面积平分。【通法通解】(1)理论依据：等底同高的三角形的面积相等。(2)作法：如图②，找出BC边的中点D，过AD作一条直线即可平分△ABC的面积。解答题专项常见模型二三角形等积变换(又称“蝴蝶型”)如图③，已知△ABC，求作△DBC，使S△ABC=S△DBC。理论依据：同底等高的三角形的面积相等。作法：如图③，过点A作线段BC的平行线l,直线l上(点A除外)的任何一点满足题目要求。易证S