（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微切口5 与数量积有关的最值和范

专题一三角函数和平面向量微切口5与数量积有关的最值和范围问题(1)(2019·苏州大学考前指导卷)如图(1)，已知等边三角形ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，若M为AB的中点，则OA→·OM→的最大值为________．(例1(1))52＋7【思维引导】(1)(2)【解析】方法一：如图(2)，设BC的中点为D，AM的中点为H，连接OH，OD，DH，DM，因为DH＝1＋14－2×12×1×cos120°＝72，所以OH≤OD＋DH＝72＋1，(例1(2))则OA→·OM→≤OH2－14＝52＋7.则OA→·OM→＝OA→＋OM→2－OA→－OM→24＝OH2－14.方法二：如图(3)，设∠OBC＝α，则B(2cosα，0)，C(0,2sinα)，过点A作AD⊥y轴于点D，(例1(3))则A(2sin(α＋30°)，2sinα＋2cos(α＋30°))，即A(cosα＋3sinα，sinα＋3cosα)．因为M32cosα＋32sinα，12sinα＋32cosα，＝52＋12(cos2α＋33sin2α)≤52＋121＋27＝52＋7.所以OA→·OM→＝2＋cos2α＋332sin2α方法三：如图(4)，设∠OBC＝α，BC的中点为D，连接OD，(例1(4))则B(2cosα，0)，OD＝1，OA→·OM→＝OA→·OA→＋OB→2＝12OA→2＋12OA→·OB→由余弦定理知OA2＝1＋3－23cos(2α＋90°)＝4＋23sin2α，OM2＝1＋4cos2α－2·2cosα·cos(α＋60°)＝cos2α＋3sin2α＋2，所以OA→·OM→＝52＋12(cos2α＋33sin2α)≤52＋121＋27＝52＋7.＝12OA→2＋12·OA→＋OB→2－OA→－OB→24＝12(OA2＋OM2)－12.(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，那么AE→·AF→的最小值为________．2918【解析】方法一：在梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，得DC＝1，AE→＝AB→＋λBC→，AF→＝AD→＋19λDC→，所以AE→·AF→＝(AB→＋λBC→)·AD→＋19λDC→＝AB→·AD→＋AB→·19λDC→＋λBC→·AD→＋λBC→·19λDC→＝2×1×cos60°＋2×19λ＋λ×1×cos60°＋λ×19λ×cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时等号成立，故AE→·AF→的最小值为2918.方法二：如图(5)，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C32，32，D12，32.(例1(5))得E2－12λ，32λ，F12＋19λ，32，λ＞0，由BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，所以AE→·AF→＝2－12λ12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时等号成立，故AE→·AF→的最小值为2918.(1)(2019·南方凤凰台密题)如图(1)，已知正方形ABCD的边长是2，E是CD的中点，P是以AD为直径的半圆上的任意一点，那么AE→·BP→的取值范围是___________．(变式(1))[－5，2]【解析】以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图(3)所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，E(1,2)．设P(cosθ，1＋sinθ)，θ∈π2，3π2，所以AE→·BP→＝5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝12，且φ∈0，π2，则θ＋φ∈π2＋φ，3π2＋φ，所以sin(θ＋φ)∈－1，sinπ2＋φ.因为sinπ2＋φ＝25，所以AE→·BP→＝5sin(θ＋φ)∈[－5，2]．(变式(3))(2)如图(2)，在平面四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为________．(变式(2))2116【解析】以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图(4)所示的平面直角坐标系，(变式(4))在平面四边形ABCD中，因为AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0,0)，B(1,0)，D－12，32.设C(1，m)，E(x，y)，所以DC→＝32，m－32，AD→＝－12，32.因为AD⊥CD，所以32，m－32·－12，32＝0，则32×－12＋32×m－32＝0，解得m＝3，即C(1，3)．因为E在CD上，所以32≤y≤3.由kCE＝kCD，得3－y1－x＝3－321＋12，即x＝3y－2.因为AE→＝(x，y)，BE→＝(x－1，y)，故AE→·BE→＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(3y－2)2－3y＋2＋y2＝4y2－53y＋6.令f(y)＝4y2－53y＋6，y∈32，3.因为函数f(y)＝4y2－53y＋6在32，538上单调递减，在538，3上单调递增，故f(y)min＝4×5382－53×538＋6＝2116，所以AE→·BE→的最小值为2116.(3)(2020·启东中学)已知正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，若满足2OP→＝λOB→＋(1－λ)OC→，则PM→·PN→的最小值为________．－716【解析】如图(5)，建立平面直角坐标系，(变式(5))设M－x，－12，Nx，12，x∈－12，12.则OP→＝λOE→＋(1－λ)OF→，可知P在直线EF上，设P14，y，分别取OB，OC的中点E，F，连接EF，所以PM→·PN→＝－x－14，－12－y·x－14，12－y＝－316－x2＋y2，x∈－12，12，y∈R，可知当x＝±12，y＝0时，上式取最小值，即所求的最小值为－716.与数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．