（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题三 不等式 第1讲 三个二次的关系课件

专题三不等式第1讲三个二次的关系回归教材栏目导航举题固法即时评价回归教材1.(必修5P105练习2改编)不等式x2－x－2≤0的整数解为_____________．{－1,0,1,2}因式分解找零点【解析】由题意知(x－2)(x＋1)≤0，所以－1≤x≤2，故原不等式的整数解为{－1,0,1,2}．2.(必修5P105复习题13(3))已知f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围为________________．233，＋∞次数最高项的系数含字母，注意考虑是否为0【解析】当m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝x－2，当x－20时，x2，不满足题意；当m＋1≠0时，由题意知m＋10且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)0，解得m233.综上，实数m的取值范围为233，＋∞.3.(必修5P94习题11改编)已知关于x的不等式x2－ax＋2a0在R上恒成立，那么实数a的取值范围是________．(0,8)二次不等式恒成立，Δ0【解析】因为x2－ax＋2a0在R上恒成立，所以Δ＝a2－4×2a0，解得0a8.4.(必修5P71练习5改编)在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________．－12，32二次不等式恒成立，可配方处理【解析】由题意知x－a－x2＋a21恒成立，即x－122＋a＋34－a20恒成立，所以a2－a－340恒成立，解得－12a32.5.(必修1P32习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是______________．{m|0≤m≤4}数形结合法确定参数取值范围【解析】由函数图象的对称轴方程为x＝2，且在[0,2]上为增函数，知a0，根据函数图象得实数m的取值范围是{m|0≤m≤4}．举题固法目标1含参不等式的解法解关于x的一元二次不等式(x－2)(ax－2)0.【解答】当a＝0时，原不等式可化为x－20，所以x2.当a≠0时，原不等式化为a(x－2)x－2a0，①当a1时，2a2，原不等式化为(x－2)x－2a0，所以x2a或x2.②当a＝1时，2a＝2，原不等式化为(x－2)20，所以x∈R且x≠2.③当0a1时，2a2，原不等式化为(x－2)·x－2a0，则x2或x2a.④当a0时，2a2，原不等式化为(x－2)x－2a0，所以2ax2.综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x2}；当a1时，原不等式的解集为xx2a或x2；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}；当0a1时，原不等式的解集为xx2或x2a；当a0时，原不等式的解集为x2ax2.解关于x的一元二次不等式ax2＋(a－1)x－10.【解答】由ax2＋(a－1)x－10，得(ax－1)(x＋1)0.当a0时，(ax－1)(x＋1)0⇔x－1a(x＋1)0⇔x－1或x1a；当－1a0时，(ax－1)(x＋1)0⇔x－1a(x＋1)0⇔1ax－1；当a＝－1时，(ax－1)(x＋1)0⇔－(x＋1)20⇔(x＋1)20⇔x∈∅；当a－1时，(ax－1)(x＋1)0⇔x－1a(x＋1)0⇔－1x1a.综上所述，当a0时，不等式的解集为xx－1或x1a；当－1a0时，不等式的解集为x1ax－1；当a＝－1时，不等式的解集为∅；当a－1时，不等式的解集为x－1x1a.目标2函数与不等式(2019·海州中学)已知函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈Z，b，c∈R)．(1)若n＝－1，函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数b的取值范围；【解答】当n＝－1时，f(x)＝1x＋bx＋c.设x1x2≥2，f(x1)－f(x2)＝1x1＋bx1＋c－1x2＋bx2＋c＝(x1－x2)(bx1x2－1)x1x2.因为x1x2≥2，所以x1－x20，x1x20，由函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，知f(x1)f(x2)，所以bx1x2－10，即b1x1x2.当x1x2≥2时，x1x24，所以1x1x214，所以b≥14，所以实数b的取值范围为14，＋∞.(2)当n＝2时，若对任意的x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤4恒成立，求实数b的取值范围．【解答】当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.对任意的x1，x2∈[－1,1]，|f2(x1)－f2(x2)|≤4恒成立等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.当－b2－1，即b2时，f2(x)在[－1,1]上单调递增，所以f2(x)min＝f2(－1)＝1－b＋c，f2(x)max＝f2(1)＝1＋b＋c，所以M＝2b4，与题设矛盾；当－1≤－b2≤0，即0≤b≤2时，f2(x)在－1，－b2上单调递减，在－b2，1上单调递增，所以f2(x)min＝f2－b2＝－b24＋c，f2(x)max＝f2(1)＝1＋b＋c，所以M＝b2＋12≤4恒成立，所以0≤b≤2;当0－b2≤1，即－2≤b0时，f2(x)在－1，－b2上单调递减，在－b2，1上单调递增，所以f2(x)min＝f2－b2＝－b24＋c，f2(x)max＝f2(－1)＝1－b＋c，所以M＝b2－12≤4恒成立，所以－2≤b0；当－b2－1，即b2时，f2(x)在[－1,1]上单调递减，所以f2(x)min＝f2(1)＝1＋b＋c，f2(x)max＝f2(－1)＝1－b＋c，所以M＝－2b4，与题设矛盾．综上所述，实数b的取值范围是[－2,2]．已知函数f(x)＝x|x－2a|，a∈R.(1)若a＝0，且f(x)＝－1，求x的值；【解答】由a＝0，知f(x)＝x|x|，由f(x)＝－1，即x|x|＝－1，解得x＝－1.(2)当a0时，若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；【解答】f(x)＝x2－2ax，x≥2a，－x2＋2ax，x2a＝(x－a)2－a2，x≥2a，－(x－a)2＋a2，x2a，作出f(x)的图象如图(1)所示，因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以2a≤2，即a≤1，所以实数a的取值范围为(0,1]．(变式(1))(3)若a＝1，求函数f(x)在区间[0，m](m0)上的最大值g(m)．【解答】当a＝1时，f(x)＝x(x－2)，x≥2，－x(x－2)，x2，作出f(x)的图象如图(2)所示，(变式(2))当0m1时，g(m)＝f(m)＝m(2－m)；当1≤m≤2＋1时，g(m)＝f(1)＝1；当m2＋1时，g(m)＝f(m)＝m(m－2)．综上所述，g(m)＝m(2－m)，0m1，1，1≤m≤2＋1，m(m－2)，m2＋1.目标3方程与不等式已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，且f(1)＝－a2，3a＞2c＞2b.(1)求证：a＞0且－3＜ba＜－34；【解答】因为f(1)＝a＋b＋c＝－a2，所以3a＋2b＋2c＝0.又3a＞2c＞2b，所以3a＞0,2b＜0，所以a＞0，b＜0.因为2c＝－3a－2b,3a＞2c＞2b，所以3a＞－3a－2b＞2b.又a＞0，所以－3＜ba＜－34.(2)求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；【解答】由题知f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.①当c＞0时，因为a＞0，所以f(1)＝－a2＜0，且f(0)＝c＞0，所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．②当c≤0时，因为a＞0，所以f(1)＝－a2＜0，且f(2)＝a－c＞0，所以函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②，得f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．(3)求证：若x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|＜574.【解答】因为x1，x2是函数f(x)的两个零点，所以x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－ba2－4－32－ba＝ba＋22＋2.又－3＜ba＜－34，所以2≤|x1－x2|＜574.是否存在这样的实数a，使得函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9a－892＋89＞0恒成立，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．因为f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验如下：当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1，方程f(x)在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.当f(3)＝0时，a＝－15，所以f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解得x＝－25或x＝3，方程f(x)在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a的取值范围是－∞，－15∪(1，＋∞)．即时评价1.已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，那么实数a的取值集合为________．{1}【解析】由定义域为R，得x2－2x＋a≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y＝x2－2x＋a的图象与x轴只有1个交点，所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.2.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1，若关于x的不等式f(f(x))0的解集为空集，则实数a的取值范围是______________．(－∞，－2]【解析】因为f(x)＝[x－(a＋1)][x－(a－1)]，所以f(f(x))0等价于[f(x)－(a＋1)][f(x)－(a－1)]0，从而a－1f(x)a＋1，要使f(f(x))0的解集为空集，根据函数的图象，则需y＝a＋1与y＝f(x)至多有一个交点．因为f(x)＝(x－a)2－1≥－1，所以a＋1≤－1，解得a≤－2.3.(2019·姜堰中学)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，试求函数y＝f(x)x(x0)的最小值；【解答】由题意得y＝f(x)x＝x2－4x＋1x＝x＋1x－4.因为x＞0，所以x＋1x≥2，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，所以y≥－2，所以当x＝1时，y＝f(x)x的最小值为－2.(2)若对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a恒成立，试求a的取值范围．【解答】因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a恒成立”只需“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”即可．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只需g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，所以g(0)≤0，g(2)≤0，即0－0－1≤0，4－4a－1≤0，解得a≥34，故a的取值范围为34，＋∞.