（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题七 数学文化及数学思想 第3讲 分类讨论、

数学第二部分高考热点分层突破专题七数学文化及数学思想第3讲分类讨论、转化与化归思想02二、转化与化归思想01一、分类讨论思想一、分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2.标准要统一，层次要分明3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2.由数学运算要求而引起的分类讨论3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4.由图形的不确定性而引起的分类讨论5.由参数的变化而引起的分类讨论分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论[典型例题]设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________．【解析】由{an}是等比数列，Sn0，可得a1＝S10，q≠0，当q＝1时，Sn＝na10.当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q0，即1－qn1－q0(n＝1，2，3，…)，则有1－q0，1－qn0，①或1－q0，1－qn0.②由①得－1q1，由②得q1.故q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．【答案】(－1，0)∪(0，＋∞)本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由a1（1－qn）1－q0，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q进行讨论．[对点训练]1．一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为()A．x＋y－7＝0B．2x－5y＝0C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0解析：选C.设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.2．若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．解析：若a1，则a2＝4，a－1＝m，故a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x，为减函数，不合题意；若0a1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意，所以a＝14.答案：14应用二由参数变化引起的分类讨论[典型例题]已知f(x)＝x－aex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解】(1)由题知，f′(x)＝1－aex，当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a0时，由f′(x)＝0得x＝－lna，若x∈(－∞，－lna)，则f′(x)0；若x∈(－lna，＋∞)，则f′(x)0，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递增，在(－lna，＋∞)上单调递减．(2)f(x)≤e2x⇔a≥xex－ex，设g(x)＝xex－ex，则g′(x)＝1－e2x－xex.当x0时，1－e2x0，g′(x)0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．当x0时，1－e2x0，g′(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞)．(1)①参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．②解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论．(2)分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．[对点训练]1．设f(x)＝x，0x1，2（x－1），x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，则f(1a)＝()A．2B．4C．6D．8解析：选C.当0a1时，a＋11，f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因为f(a)＝f(a＋1)，所以a＝2a，解得a＝14或a＝0(舍去)．所以f(1a)＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1≥2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解．综上，f(1a)＝6.2．设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝12.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a1，则当x∈1a，1时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－10，所以f′(x)0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．应用三由图形位置或形状引起的分类讨论[典型例题]设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．【解析】不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t6t＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t2t＝32.【答案】12或32(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论．(2)相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．[对点训练]1．过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C.因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件；当直线l与实轴垂直时，有3－y22＝1，解得y＝2或y＝－2，此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.2．设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，则|PF1||PF2|的值为________．解析：(1)若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，所以|PF1||PF2|＝72.(2)若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|的值为72或2.答案：72或2二、转化与化归思想转化与化归的原则常见的转化与化归的方法1.熟悉化原则2.简单化原则3.直观化原则4.正难则反原则1.直接转化法2.换元法3.数形结合法4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化方法8.等价问题法9.加强命题法10.补集法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法应用一一般与特殊的相互转化[典型例题](1)过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则1p＋1q等于()A．2aB．12aC．4aD．4a(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．【解析】(1)抛物线y＝ax2(a0)的标准方程为x2＝1ay(a0)，焦点F0，14a.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a，所以1p＋1q＝4a.(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cosθ，sinθ)，则a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ)，令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cosθ）2＋sin2θ＋（cosθ－2）2＋sin2θ＝5＋4cosθ＋5－4cosθ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20]．由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是25.【答案】(1)C(2)425(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．[对点训练]已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[12，＋∞)C．[－1，12]D．－32，12解析：选D.当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A、B；(注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0，1往往是首选．)当a＝－32时，函数f(x)＝32x3－92x，f′(x)＝92x2－92＝92(x2－1)，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.应用二正与反的相互转化[典型例题]若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．【解析】由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥2x－3x在x∈(t，3)上恒成立，所以m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2x－3x在x∈(t，3)上恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.所以函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为－373m－5.【答案】(－373，－5)(1)本题是正与反的转化，由于函数不为单调函数有多种情况，所以可先求出其反面情况，体现“正难则反”的原则．(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．[对点训练]1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．1D．2解析：选C.由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围是________．解析：如果在[－1，1]内没有值满足f(x)0，则f（－1）≤0，