（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题一 三角 第四讲 大题考法——三角函数课件

——三角函数大题考法四讲第结合三角函数定义进行化简求值题型(一)主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题.[典例感悟][例1](2019·南京四校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B为单位圆上两点，点A在第一象限，点B在第二象限，点A的横坐标为35，∠AOB＝120°，直线AB与x轴交于点C.(1)求点B的坐标；(2)求cos2∠ACO的值．[解](1)∵点A在第一象限且在单位圆上，横坐标为35，∴点A的纵坐标为45，设∠AOx＝α，则cosα＝35，sinα＝45.∴cos(α＋120°)＝cosαcos120°－sinαsin120°＝35×－12－45×32＝－3－4310，sin(α＋120°)＝sinαcos120°＋cosαsin120°＝45×－12＋35×32＝33－410，∴点B的坐标为－3－4310，33－410.(2)∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠BAO＝30°.由(1)知cosα＝35，sinα＝45，∴cos∠ACO＝cos(α－30°)＝cosαcos30°＋sinαsin30°＝35×32＋45×12＝33＋410，∴cos2∠ACO＝2cos2∠ACO－1＝2×33＋4102－1＝243－750.[方法技巧]结合三角函数定义化简求值问题的解题策略(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)当求角α的终边上点的坐标时，要根据角的范围，结合三角公式进行求解．(3)同角三角函数间的关系应注意正确选择公式，注意公式应用的条件．[演练冲关]如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan－19π4＋α＋β的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由条件得cosα＝210，cosβ＝255，α，β为锐角，故sinα0且sinα＝7210.同理可得sinβ＝55，∴tanα＝7，tanβ＝12.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.∴tan－19π4＋α＋β＝tanα＋β－3π4＝tan（α＋β）－tan3π41＋tan（α＋β）tan3π4＝－12.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1，∵0απ2，0βπ2，∴0α＋2β3π2，从而α＋2β＝3π4.三角函数求值问题题型(二)主要考查在给定三角函数值的条件下，求其他角的三角函数值或角.[典例感悟][例2](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.[方法技巧]三角函数求值问题的类型及解题方法给式求值给出某些式子的值，求其他式子的值．解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式给值求值给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式给值求角解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角[演练冲关]1．已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解：(1)因为tanα2＝12，所以sinα＝sin2·α2＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.(2)因为0＜α＜π2，sinα＝45，所以cosα＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，所以0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2.所以sin(β－α)＝9810＝7210，所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π，得β＝3π4.2．(2018·南通二调)已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.(1)求cosα的值；(2)求sin2α－π4的值．解：(1)因为α∈π2，π，所以α＋π4∈3π4，5π4，又sinα＋π4＝210，所以cosα＋π4＝－1－sin2α＋π4＝－1－2102＝－7210.所以cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－7210×22＋210×22＝－35.(2)因为α∈π2，π，cosα＝－35，所以sinα＝1－cos2α＝1－－352＝45.所以sin2α＝2sinαcosα＝2×45×－35＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝2×－352－1＝－725.所以sin2α－π4＝sin2αcosπ4－cos2αsinπ4＝－2425×22－－725×22＝－17250.向量与三角函数的综合题型(三)主要考查以向量为载体的三角函数性质的综合应用问题.[典例感悟][例3](2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解](1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx.则tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32.于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取到最小值－23.[方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立的条件，得到三角函数的关系式，然后求解；(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求解的是向量的模或者其他向量的表达式，经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等．[演练冲关]1．(2019·南京盐城二模)设向量a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中λ＞0，0＜α＜β＜π2，且a＋b与a－b互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝45，且tanβ＝2，求tanα的值．解：(1)由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.又sin2α＋cos2α＝1，所以(λ2－1)sin2α＝0.因为0＜α＜π2，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.又λ＞0，所以λ＝1.(2)由(1)知a＝(cosα，sinα)．由a·b＝45，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝45，即cos(α－β)＝45.因为0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0，所以sin(α－β)＝－1－cos2（α－β）＝－35，所以tan(α－β)＝sin（α－β）cos（α－β）＝－34，因此tanα＝tan(α－β＋β)＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝－34＋21＋34×2＝12.2．(2019·南通等七市二模)在平面直角坐标系中，设向量a＝(cosα，sinα)，b＝sinα＋π6，cosα＋π6，其中0＜α＜π2.(1)若a∥b，求α的值；(2)若tan2α＝－17，求a·b的值．解：(1)因为a∥b，所以cosαcosα＋π6－sinαsinα＋π6＝0，所以cos2α＋π6＝0.因为0＜α＜π2，所以π6＜2α＋π6＜7π6，所以2α＋π6＝π2，解得α＝π6.(2)因为0＜α＜π2，所以0＜2α＜π，又tan2α＝－17＜0，故π2＜2α＜π，因为tan2α＝sin2αcos2α＝－17，所以cos2α＝－7sin2α＜0，又sin22α＋cos22α＝1，所以sin2α＝210，cos2α＝－7210.因此，a·b＝cosαsinα＋π6＋sinαcosα＋π6＝sin2α＋π6＝sin2αcosπ6＋cos2αsinπ6＝210×32＋－7210×12＝6－7220.