（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题十九 函数应用题课件 苏教版

核心模块七应用题微专题十九函数应用题课时作业考情分析在近三年的高考题中，实际应用题每年必考，常见的有与经济有关即利润最大化和成本最小化为背景的应用题，也有以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题．主要涉及的函数模型有分段函数、三次函数、三角函数等，难度为中档题为主．年份填空题解答题2017T10考察经济背景应用题T18考察几何图形为背景的应用题2018T17考察几何图形为背景的应用题2019T18考察解析几何背景的应用题课时作业典型例题目标1分段函数及分式函数模型例1为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：mg·m－3)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝168－x－1，0≤x≤4，5－12x，4x≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4mg·m－3时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝648－x－4，0≤x≤4，20－2x，4x≤10.则当0≤x≤4时，由648－x－4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.当4x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此时4x≤8.综上，得0≤x≤8.故一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天浓度g(x)＝25－12x＋a168－x－6－1＝10－x＋16a14－x－a＝(14－x)＋16a14－x－a－4.因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4a∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4a时，g(x)有最小值为8a－a－4.令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值为24－162≈1.6.【方法归类】本题中所建立函数为分式函数，对于分式函数首先考虑用基本不等式求解，如果等号不成立，再用导数求解单调性，利用单调性求最值．一般地，对于y＝cx2＋dx＋eax＋b(a，c≠0)都可以考虑先用基本不等式求解．【思维变式题组训练】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作时间的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝30，0x≤30，2x＋1800x－90，30x100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；试讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．解析：(1)2x＋1800x－90＞40.由于x＞0，故x2－65x＋900＞0，解得45＜x＜100.故当45＜x＜100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．(2)当0＜x≤30时，g(x)＝30×x%＋40(1－x%)＝40－x10；当30＜x≤100时，g(x)＝2x＋1800x－90×x%＋40(1－x%)＝x250－13x10＋58.所以g(x)＝40－x10，0x≤30，x250－1310x＋58，30x100.当0＜x≤32.5时，g(x)单调递减，当32.5＜x100时，g(x)单调递增，说明，当S中有少于32.5%的成员自驾时，人均通勤时间递减；自驾32.5%时，人均通勤时间达到最小值；大于32.5%时，人均通勤时间再次逐渐增大．目标2高次函数模型例2从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，单程票价定为150元/人．(1)若一艘游轮单程以40km/h的速度航行，所载游客为180人，则轮船公司获利是多少？(2)如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？解析：设游轮以vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f(v)元，游轮的燃料费用为每小时k·v3元．依题意k·103＝60，则k＝350.所以f(v)＝350v3·100v＋3240·100v＝6v2＋324000v.(1)当v＝40时，f(v)＝6×402＋32400040＝17700(元)．轮船公司获得的利润是150×180－17700＝9300(元)．(2)f′(v)＝12v－324000v2＝12v3－27000v2.令f′(v)＝0，得v＝30.当0v30时，f′(v)0，此时f(v)单调递减；当30v≤50时，f′(v)0，此时f(v)单调递增．故当v＝30时，f(v)有极小值，也是最小值，f(30)＝16200.所以轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为30km/h.答：(1)轮船公司获得的利润是9300元．(2)轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为30km/h.点评：所建立的函数模型为高次(三次及三次以上)函数或整式与分式结合时，在解模过程中常用导数处理，要注意解题的步骤与解题格式，要注意函数的定义域．【思维变式题组训练】某小微企业日均用工人数a与日营业利润f(x)(元)、日人均用工成本x(元)之间的函数关系为f(x)＝－13x3＋5x2＋30ax－500(x≥0)．(1)若日均用工人数a＝20，求日营业利润f(x)的最大值；(2)由于政府的减税、降费等一系列惠及小微企业政策的扶持，该企业的日人均用工成本x的值在区间[10,20]内，求该企业在确保日营业利润f(x)不低于24000元的情况下，该企业平均每天至少可供多少人就业．解析：(1)a＝20时，f(x)＝－13x3＋5x2＋600x－500(x≥0)，则f′(x)＝－x2＋10x＋600＝－(x2－10x－600)＝－(x＋20)(x－30)．因为x≥0，所以当x∈[0,30)时，f′(x)＞0；当x∈(30，＋∞)时，f′(x)＜0，所以x＝30时，f(x)max＝13000(元)．(2)由－13x3＋5x2＋30ax－500≥24000，得90a≥x2－15x＋73500x.令h(x)＝x2－15x＋73500x，则h′(x)＝2x－15－73500x2.h′(x)＝2x－15－73500x2在[10,20]上是单调增函数，所以h′(x)＝2x－15－73500x2≤h′(20)＝40－15－735004000.所以h(x)＝x2－15x＋73500x在[10,20]上单调递减，则90a≥x2－15x＋73500xmax＝100－150＋7350＝7300，故a≥7309，所以amin＝82.所以企业平均每天至少可供82人就业．课时作业课后作业解答题1.某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费，预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时，一年的销售量为(10－x)2万件．(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2)当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值．解析：(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)＝(x－4－a)(10－x)2，x∈[8,9]．(2)L′(x)＝(10－x)2－2(x－4－a)(10－x)＝(10－x)(18＋2a－3x)．令L′(x)＝0，得x＝6＋23a或x＝10(舍去)．因为1≤a≤3，所以203≤6＋23a≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减，故Lmax＝L(8)＝(8－4－a)(10－8)2＝16－4a.即M(a)＝16－4a.答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为(16－4a)万元．2.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－3x＋1，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解析：(1)L(x)＝164－3x＋1－x－2x＝64－48x＋1－3x(0≤x≤5)．(2)解法一：L(x)＝64－48x＋1－3x＝67－48x＋1＋3x＋1≤67－248x＋1·3x＋1＝43.当且仅当48x＋1＝3(x＋1)时，即x＝3时取等号．故L(x)max＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4300元．解法二：L′(x)＝48x＋12－3，由L′(x)＝0，得x＝3.故当x∈(0,3)时，L′(x)0，L(x)在(0,3)上单调递增；当x∈(3,5)时，L′(x)0，L(x)在(3,5)上单调递减．所以当x＝3时，L(x)取得极大值，也是最大值，故L(x)max＝L(3)＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4300元．3.盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋600xx2＋144－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6.(1)求实数m的值；(2)求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)解析：(1)由题f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋600xx2＋144－6(4≤x≤22，m∈R)，解得m＝12.(2)由已知函数求导得f′(x)＝12－xx＋600144－x2x2＋1442＝(12－x)1x＋60012＋xx2＋1442.令f′(x)＝0得x＝12，x(4,12)12(12,22)f′(x)＋0－f(x)极大值所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．答：(1)实数m的值为12；(2)每天空气质量指数最高的时刻为12时．4.某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*.根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h(万件)与(18－x)2成正比；当15≤x≤30，且x∈N*时，每月的销售量h(万件)与1－10x成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．(1)求该公司的月利润f(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f(x)最大？并求出最大值．解析：(1)设h＝k1(18－x)2(10≤x≤15，x∈N*)，h＝k21－10x(15≤x≤30，x∈N*)，因为当x＝15时，h＝9，代入上述两式可得k1＝1，k2＝3.所以f(x)＝x－818－x2，10≤x≤15，x∈N*，3xx－8x－10，15x≤30，x∈N*.(2)当10≤x≤15，x∈N*时，f(x)＝(x