（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 最大值与最小值课件 苏

1．3.3最大值与最小值[探究发现]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．3．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如图所示)．问题1：两函数的最大值和最小值分别是什么？提示：函数y＝g(x)的最大值为g(a)，最小值是其极小值g(c)；函数y＝h(x)的最大值为h(b)，最小值为h(a)．问题2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？提示：不一定．问题3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？提示：不是．[必备知识]1．最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有____________，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值________．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有____________，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值________．f(x)≤f(x0)惟一f(x)≥f(x0)惟一2．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的________；(2)将第(1)步中求得的________与____，____比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．极值极值f(a)f(b)[提醒](1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．考点一求函数的最大值与最小值[典例]求下列函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈－π2，π2.[解](1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝32.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2－2，323232，＋∞f′(x)0－0＋f(x)57－1154所以f(x)在－2，32上为减函数，在32，＋∞上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．(2)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝2cos2x－1＝0，解得x＝π6或x＝－π6.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x－π2－π2，－π6－π6－π6，π6π6π6，π2π2f′(x)－0＋0－f(x)π2π－33633－π6－π2由上表可知f(x)的最大值是π2，最小值是－π2.[类题通法]求函数的最值的两个注意点(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解．[针对训练]1．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为()A．2B．3C.174D．22＋12解析：选B由f′(x)＝1x－1x2＝x32－1x2＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1,5]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴当x＝1时，f(x)取得最小值，且最小值为f(1)＝3.2．求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)0，即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.考点二已知函数的最值求参数[典例]已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．取导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)∵当a＞0时，如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)最大值∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3.又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3，∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2.(2)∵当a＜0时，如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)最小值∴当x＝0时，f(x)取得最小值，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29，∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.[类题通法]解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，列出相应的方程，从而得出参数的值．[针对训练]1．若函数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a＝()A.3－1B.34C.43D.3＋1解析：选A由题意得f′(x)＝x2＋a－2x2x2＋a2＝－x－ax＋ax2＋a2，当0＜x＜a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．∴f(x)在x＝a处取得最大值．∵当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝34＜1，不符合题意．∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，解得a＝3－1.2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．解析：∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，且f(x)在(0,1)内有最小值，∴方程x2－a＝0有一根在(0,1)内．则x＝a∈(0,1)，∴0＜a＜1.答案：(0,1)3．已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋h(x)28－43由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3k2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．考点三与最值有关的恒成立问题[典例]设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)－2t＋m，对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t0)，∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1.则g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)．令g′(t)＝0，得t1＝1，t2＝－1(舍去)．列表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)极大值1由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.∵h(t)－2t＋m在(0,2)恒成立等价于mg(t)在(0,2)内恒成立．∴m1.即实数m的取值范围是(1，＋∞)．[类题通法]恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要hf(x)max，则不等式f(x)＜h恒成立．(2)要使不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)minh，则不等式f(x)h恒成立．[针对训练]已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a－1x＝ax－1x，当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；当a0时，由f′(x)0，得0x1a，由f′(x)0，得x1a.所以f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增，即f(x)在x＝1a处有极小值．综上知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)因为函数f(x)在x＝1处取得极值，所以a＝1，所以f(x)≥bx－2⇒1＋1x－lnxx≥b，令g(x)＝1＋1x－lnxx，则g′(x)＝lnx－2x2，令g′(x)＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(e2)＝1－1e2，即b≤1－1e2，即实数b的取值范围为－∞，1－1e2.[课堂归纳领悟]1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．例如：函数f(x)＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值．3．求实际问题的最大值(最小值)的方法在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．