（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 单调性课件 苏教版选修

1．3.1单调性[探究发现]已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝1x.问题1：试作出上述三个函数的图象．提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝10，y2′＝2x，当x0时，y2′0，当x0时，y2′0，y3′＝－1x20.问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)0时，f(x)为增函数，当f′(x)0时，f(x)为减函数．[必备知识]一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)0f(x)为该区间上的_______f′(x)0f(x)为该区间上的_______上述结论可以用下图来直观理解．增函数减函数[提醒]在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)0.考点一判断或证明函数的单调性[典例]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－3a，讨论函数f(x)的单调性．[解]由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a.当a0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)0，∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数；若x∈0，2a，则f′(x)0，∴f(x)在区间0，2a上为减函数；若x∈2a，＋∞，则f′(x)0，∴f(x)在区间2a，＋∞上是增函数．当a0时，若x∈－∞，2a，则f′(x)0，∴f(x)在－∞，2a上是减函数；若x∈2a，0，则f′(x)0，∴f(x)在区间2a，0上为增函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．[类题通法]利用导数判断或证明函数单调性的思路[针对训练]1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：选By′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x0，使y′0的情况．2．证明：函数y＝xsinx＋cosx在区间3π2，5π2内是增函数．证明：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.∵x∈3π2，5π2，∴cosx0，∴y′0.即函数y＝xsinx＋cosx在3π2，5π2内是增函数．3．判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解：因为y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a0时，y′≥0，函数在R上是增函数；(2)当a0时，y′≤0，函数在R上是减函数；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．考点二求函数的单调区间[典例]求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－13ax3＋x2＋1(a≤0)．[解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－1x＝6x2－1x，令f′(x)0，即6x2－1x0，∵x0，∴6x2－10，∴x66.令f′(x)0，即6x2－1x0，∵x0，∴6x2－10，∴0x66.∴f(x)的单调递增区间为66，＋∞，单调递减区间为0，66.(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a0时，f′(x)＝－ax2＋2x，f′(x)0⇔(－ax＋2)x0⇔x－2ax0⇔x0或x2a；f′(x)0⇔2ax0.故f(x)的单调递增区间为－∞，2a和(0，＋∞)，单调递减区间为2a，0.[类题通法](1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)0或f′(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．(3)要特别注意函数的定义域．[针对训练]1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是________．解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)·ex，由函数导数与函数单调性关系得：当f′(x)＜0时，函数f(x)单调递减，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·ex＜0解得x＜2.答案：(－∞，2)2．已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由f(x)＝lnx＋kex，得f′(x)＝1－kx－xlnxxex，x∈(0，＋∞)，由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1xex(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)0.又ex0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．考点三已知函数的单调性求参数[典例]若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．[解][法一直接法]f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－11，即a2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．[法二数形结合法]f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．∵在(1,4)内f′(x)≤0，在(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，作出y＝f′(x)的示意图如图所示，则f′(x)＝0的另一根在[4,6]上．∴f′4≤0，f′6≥0，即3×5－a≤0，5×7－a≥0，∴5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．[类题通法]1．利用导数法解决参数问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)0(或f′(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.[针对训练]1．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m等于()A.92B．－92C．9D．－9解析：选A∵f(x)＝x3－mx2＋m－2，∴f′(x)＝3x2－2mx.令f′(x)＝0，则x＝0或x＝23m，又∵函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，∴23m＝3，即m＝92.2．若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝2mx＋1x－2＝2mx2－2x＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以二次函数g(x)＝2mx2－2x＋1在定义域(0，＋∞)上必须大于等于0，所以m＞0，g12m≥0，解得m≥12.答案：12，＋∞3．已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．解：由已知得f′(x)＝2a＋2x3，∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.当a＝－1时，f′(x)＝－2＋2x3.对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.∴a＝－1时，f(x)在(0,1]上为增函数．∴综上，f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．[课堂归纳领悟]1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．3．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．