（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差课

2．5.2离散型随机变量的方差和标准差[探究发现]A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值说明了什么？提示：E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．[必备知识]1．离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则____________________________________(其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)称为离散型随机变量X的方差，也称为X的概率分布的方差，记为V(X)或_______.(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pnσ2②变形公式：V(X)＝_____________.③意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的___________程度．(2)离散型随机变量的标准差X的方差V(X)的___________称为X的标准差，即σ＝___________.i＝1nx2ipi－μ2平均偏离算术平方根VX2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若X～0－1分布，则V(X)＝_____________；(2)若X～H(n，M，N)，则V(X)＝___________________；(3)若X～B(n，p)，则V(X)＝__________．p(1－p)nMN－MN－nN2N－1np(1－p)考点一方差和标准差的计算[典例]已知随机变量X的概率分布为X01xP1213p若E(X)＝23，求V(X)．[解]由12＋13＋p＝1，得p＝16.又E(X)＝0×12＋1×13＋16x＝23，∴x＝2.∴V(X)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝59.[类题通法]求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求得数学期望，进而求得方差或标准差．[针对训练]1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则V(X)等于()A．6B．9C．3D．4解析：选A由题意得E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6，V(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.2．某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________．解析：依题意知：X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.答案：0.163．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X～B3，14，∴V(X)＝3×14×1－14＝916.答案：916考点二方差的性质[典例]设随机变量X的分布列为X－101P121316若Y＝2X＋2，则V(Y)等于()A．－13B.59C.109D.209[解析]由题意知，E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，故V(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，V(Y)＝V(2X＋2)＝4V(X)＝4×59＝209.[答案]D[类题通法]求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式V(aX＋b)＝a2V(X)求解．[针对训练]已知随机变量X的分布列为：X01xP1213p若E(X)＝23.(1)求V(X)的值；(2)若Y＝3X－2，求VY的值．解：由分布列的性质，得12＋13＋p＝1，解得p＝16，∵E(X)＝0×12＋1×13＋16x＝23，∴x＝2.(1)V(X)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1527＝59.(2)∵Y＝3X－2，∴V(Y)＝V(3X－2)＝9V(X)＝5，∴VY＝5.考点三数学期望方差的实际解[典例]为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求X，Y的分布列；(2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．[解](1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴X，Y的分布列分别为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)；E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；V(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；V(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(X)E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为V(X)V(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．[类题通法]利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．[针对训练]1．出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．解：(1)因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P＝1－13×1－13×13＝427.(2)易知随机变量X～B6，13.所以E(X)＝6×13＝2，V(X)＝6×13×1－13＝43.2．甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的数学期望和方差．解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，P(A＋B)＝1－P(AB)＝1－(1－P1)·(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92，∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92.则0.4P2＝0.32即P2＝0.8.(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(X＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.6×0.8＝0.48.X的概率分布为X012P0.080.440.48E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝0.44＋0.96＝1.4，V(X)＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728＝0.4.[课堂归纳领悟]1．已知随机变量的概率分布，求它的数学期望、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．2．已知随机变量X的数学期望、方差，求X的线性函数y＝aX＋b的数学期望和方差，可直接用X的数学期望，方差的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)．3．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的数学期望、方差公式计算．