（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值课件 苏教

2．5.1离散型随机变量的均值[探究发现]设有12个西瓜，其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？提示：x＝5,6,7.问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：412，312，512.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：5×412＋6×312＋7×512.[必备知识]1．离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称_______________________为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝____________________.其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝0,1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝__________.(2)意义：刻画离散型随机变量取值的__________和稳定程度．x1p1＋x2p2＋…＋xnpnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn1平均水平2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝______.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝____.nMNnp考点一求离散型随机变量的数学期望[典例]某4S店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)．若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠．(1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；(2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X的分布列及数学期望E(X)．[解](1)个位数字为4的“三位递减数”有：984,974,964,954,874,864,854,764,754,654，共10个．(2)由题意，不同的“三位递减数”共有C310＝120(个)．小明得到的优惠金额X的取值可能为5,3,1.当X＝5时，三个数字之和可能为20或10，当三个数字之和为20时，有983,974,965,875，共4个“三位递减数”；当三个数字之和为10时，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8个“三位递减数”，所以P(X＝5)＝4＋8120＝110.当X＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，故P(X＝3)＝C35＋C25C15－12120＝48120＝25.故P(X＝1)＝1－P(X＝5)－P(X＝3)＝1－110－25＝12.所以他得到的优惠金额X的分布列为X531P1102512数学期望E(X)＝5×110＋3×25＋1×12＝2.2(万元)．[类题通法]求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X)．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．[针对训练]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是()A．0.2B．0.8C．1D．0解析：选B因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.2．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X,求E(X)．解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝1－23×1－45＝115，P(X＝1)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×1－45＋1－23×45＝25，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×45＝815.所以，X的分布列如下表：X012P11525815故E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.考点二超几何分布及二项分布的数学期望[典例]甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y.(1)求X的概率分布；(2)求X和Y的数学期望．[解](1)P(X＝0)＝C03123＝18；P(X＝1)＝C13123＝38；P(X＝2)＝C23123＝38；P(X＝3)＝C33123＝18.所以X的概率分布如下表：X0123P18383818(2)由(1)知E(X)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X～B3，12，Y～B3，23，所以E(X)＝3×12＝1.5，E(Y)＝3×23＝2.[类题通法]超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出分布列，求出均值．[针对训练]1．一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝C14C17C39＝2884＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝23.(2)X的取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C12C27＋C22C17C39＝4984，P(X＝2)＝C12C25＋C22C15C39＝2584，P(X＝3)＝C12C23＋C22C13C39＝984，P(X＝4)＝1C39＝184.所以X的分布列为X1234P49842584984184X的数学期望E(X)＝1×4984＋2×2584＋3×984＋4×184＝13084＝6542.2．某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表：X01P0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.考点三数学期望的实际应用[典例]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y)．[解](1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(A)＝(1－0.4)3＝0.216，P(A)＝1－P(A)＝1－0.216＝0.784.(2)Y的可能取值为200元，250元，300元．P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．[类题通法]1．实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．[针对训练]1.如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.126125B.65C.168125D.75解析：选BX的取值为0,1,2,3且P(X＝0)＝27125，P(X＝1)＝54125，P(X＝2)＝36125，P(X＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.故选B.2．某考生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A，B，C，D，E五项考试．若前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项考试都是相互独立的，该考生参加A，B，C，D四项考试不合格的概率均为12，参加第五项考试不合格的概率为23.(1)求该考生被录取的概率；(2)记该考生参加考试的项数为X，求X的分布列与数学期望．解：(1)该考生被录取，则A，B，C，D四项考试中有三项或四项合格，并且第五项合格．所以该考生被录取的概率为P＝(C34＋C44)×124×13＝548.(2)该考生参加考试的项数X的所有可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝12×12＝14；P(X＝3)＝C12×12×12×12＝14；P(X＝4)＝C13×12×122×12＝316；P(X＝5)＝1－14－14－316＝516.所以离散型随机变量X的分布列为X2345P1414316516[课堂归纳领悟]1．求随机变量X的数学期望，关键是正确求出X的分布列，在求X取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．