逆向思维策略在解数学题中的应用

第1页共8页逆向思维策略在解数学题中的应用在解答数学问题的过程中，经常接触到的不是标准的模式化了的问题，要顺利地解答这些问题，就需要进行创造性的思维，寻求一种解题策略．而对于某些问题，当运用正面思维策略很难得出解题途径，甚至有时还是不可能的，这时可以改从目标的“反面”去思维，间接地解答问题．这种解题策略称为逆向思维策略或正难则反．例1、设a、b、m、n、p均为实数，且满足ap–2bn+cm=0与b2–ac0，求证mp–n2的值为零或负数．采用正面思维时，很难得到解题思路，可改用逆向思维策略，如下：假设mp–n2为正数，即mp–n20则有mpn2≥0，由b2–ac0得acb2≥0∴acmpb2n2①式又由ap–2bn+cm=0可得bn=(ap+cm)/2②式将②代入①得acmp(ap+cm)2/4化简整理得(ap–cm)20，这里产生了矛盾，所以原命题第2页共8页成立．逆向思维解题策略的应用很广泛，其基本特点是：从已有思路的反方向去思考问题，顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决；正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能性发生困难时，考虑探讨不可能性．逆向思维反映了思维过程的判断性、突变性与反联结性，有利于克服思维定势的保守性，同时，往往能导致某些意想不到的效果．从而促进数学创造的产生．运用逆向思维策略，常有以下几种形式：一、反证法．反证法又可以分为归谬法和穷举法两种，所谓归谬法就是当结论的否定方面只有一种情况时，只要把这种情况否定，就能肯定原命题的结论正确．而穷举法是当命题结论所否定的方面有两种以上的情况时，必须把其所有情况都驳倒，才能肯定原命题的结论正确，一般来讲，反证法常用来证明“否定性”命题，“唯一性”命题，“至多”、“至少”命题，某些“无限”命题和直接证明难以下手的命题等．例2、已知a、b、c都是小于1的正数求证：乘积(1–a)b，(1–b)c，(1–c)a不能同时大于41．我们采用反证法来加以证明．第3页共8页证明：假设(1–a)b41，(1–b)c41，(1–c)a41同时成立．以上第一式两边同乘以a，得：(1–a)ab4a①式考虑到(1–a)a≤41212aa，两边同乘以b，得：(1–a)ab≤4b②式由①、②式得4a4b，即ab，类似地可得bc，ca，综合以上结果有：abca这显然是不成立的．故原命题正确．这样，在肯定命题的条件的前提下，并否定命题的结论，推出一个导致逻辑矛盾的结果从而肯定命题为真，是反证法证题的全过程．二、同一法同一法常用于证明某图形具有某种性质的命题，多用于几何方面．当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的某图形就是同一个，把它们等同起来，这种证法叫做同一法．例3、以正方形ABCD的一边CD为底向内作等腰ΔECD，第4页共8页使其两底角为15°，则ΔABE是等边三角形．证明：以AB为边向正方形内作等边ΔABE'，我们来证明，点E'跟E同为一点．(图1)所示DC显然ΔBCE'应是等腰三角形，它的顶角：E∠CBE'=90°–∠ABE'=30°，所以它的底角∠BCE'=21(180°–30°)=75°．E'从而∠DCE'=15°，仿此有∠CDE'=15°．AB∴点E'与E重合，ΔABE是等边三角形．可以用同一法证明的命题，实际上是依据这(图1)样的事实：具有所示性质的图形是唯一的．三、淘汰法淘汰法就是考虑某个问题中的一切情形，通过去掉其中不合要求的部分，而得到合乎要求的部分的一种解题方法．例4、从8位男生，5位女生．组成的集体中选出3名代表，求至少有一位女生的选法有多少种？第5页共8页用正面解法求出是：230083518252815CCCCCC(种)而当用淘汰法求解时，只要考虑到任选三名代表的选法减去所选代表全是男生的选法，即：23038313CC(种)显然，只要得当地运用淘汰法，往往可使复杂的问题得到简化求解．四、逆推法即执果索因：从结论出发，向条件逐步上溯，先设想要证明的结论成立，推出它成立的原因，再把这些原因看成新的结论，再推求使它们成立的原因，如此逐步上溯，直到推出已知条件或已知的事实为止．逆推法也叫分析法．例5、在ΔABC中，已知∠B=2∠C，求证：AC2=AB2+AB·BC．用分析法探索时，思路如下：（如图2）A分析：要证AC2=AB2+AB·BC，B只要证：⑴AC2=AB(AB+BC)DC⑵AC2–AB2=AB·BC⑶AC2–AB·BC=AB2（图第6页共8页2）对上面三种情况进行分析，⑴式可能是通向已知条件的途径，下面对⑴式继续追索．要证⑴AC2=AB(AB+BC)成立，只要证明：ACABBCABAC，从这里我们设想构造一个以AC为一边，另一边等于AB+BC，且与ΔABC相似的三角形．为此，我们延长AB到D，使BD=BC，连结CD，则有：AD=AB+BC．于是要证ACABBCABAC证ACABADAC证ΔACB∽ΔADC证∠D=∠ACB(∵∠A为公共角）证∠ABC=2∠D，根据辅助线的作法，这是容易证明的，故命题可证．（证明略）本题亦可在AC上适当地取一点E，将AC2转化为AC·AE+AC·EC来进行探索．可见，分析法是先认定结论为真，倒推而上，容易启发思维，每一步推理都有较明确的目的，知道推理的依据，使人了解思索过程．五、常量与变元的换位在解决有关变元的问题时，由于思维定势的影响，人们总是习惯于抓住变元不放，这在很多情况下当然是正确的，但在抓住第7页共8页变元解题较为困难，甚至产生难以克服的障碍时，也可考虑采取常量与变元换位的策略．例6、解方程01555223xxx=0此题按解三次方程方法求解相当困难，可把常量5看作“未知数”，x看作常量，则可得到一个关于5的“一元二次方程”．015125322xxx解之，得5=1–x或5=–(x2+x+1)/x(x≠0)∴x=1–5或x=[–(5+1)±252]/2六、构造反例例7、试证下列命题是假命题：:若α、β都是无理数，则α+β也是无理数．分析：只要取α=2、β=–2，均为无理数，而α+β=2+(–2)=0却是有理数，可知，所给命题是假命题．综合上述可以看到，在数学的思考方法中，逆向思维解题策略有着广泛的应用，其方法多变，对解答某类问题有特殊的作用．第8页共8页2008年11月12日