内蒙古包头市包钢第四中学2019届高三数学第四次模拟考试试题 理（PDF）

理科数学试卷第1页（共6页）理科数学试卷第2页（共6页）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：（共60分）1．已知集合{2,1,0,1,2}A=−−，{|(1)(2)0}Bxxx=−+，则AB=A．{1,0}−B．{0,1}C．{1,0,1}−D．{0,1,2}2．若a为实数，且(2)(2)4aiaii+−=−，则a=A．-1B．0C．1D．23.已知向量(1,)(3,2)amb=−，=，且()abb+⊥，则m=（A）8−（B）6−（C）6（D）84．已知等比数列{}na满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=A．21B．42C．63D．845．双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yx=B．3yx=C．22yx=D．32yx=6．在ABC△中，5cos25C=，1BC=，5AC=，则AB=A．42B．30C．29D．257.若将函数y=2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为A.()ππ26kxk=−ZB.()ππ26kxk=+ZC.()ππ212Zkxk=−D.()ππ212Zkxk=+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1189．在长方体1111ABCDABCD−中，1ABBC==，13AA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A．15B．56C．55D．2210.若π3cos45−=，则sin2=A.725B.15C.15−D.725−11.已知1F，2F是双曲线E：22221xyab−=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，sin2113MFF=,则E的离心率为A.2B.32C.3D.212．已知()fx是定义域为(,)−+的奇函数，满足(1)(1)fxfx−=+．若(1)2f=，则(1)(2)(3)(50)ffff++++=A．50−B．0C．2D．50二、填空题（共20分）13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D=．14．曲线2ln(1)yx=+在点(0,0)处的切线方程为__________．15．若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx+−−+−≥≥≤则zxy=+的最大值为__________．16.等差数列na的前n项和为nS，33a=，410S=，则11nkkS==．三、解答题(共70分)理科数学试卷第3页（共6页）理科数学试卷第4页（共6页）17．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a=，cos(2)cosaBcbA=−．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的最大值．18．（本小题满分12分）已知四棱锥SABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD=，5,7SASDSB===，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SFSC=，SA//平面BEF．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求二面角SBEF−−的余弦值．19．（本小题满分12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分x和创新能力得分y，所得数据如下表所示．x313335383942454547495254575760y667999101212121315161819x636565687171737577808080838384y212425273133364042444649515754x84858687909091929395y59626468717580888390根据这些数据，可以作成图2所示的散点图．图2（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．附：（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取2人，用X表示抽得的人中，知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人数，求(1)PX=．（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y关于x的回归方程为ˆ1.2747.92yx=−：①根据回归方程计算：当[50,70]x时，ˆy的取值范围．②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y与x关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．24163224010203040良好优秀男女0102030405060708090100010203040506070809010022(),()()()()nadbcKabcdacbd−=++++2()0.0500.0100.001.3.8416.63510.828PKkk≥FEDCBAS理科数学试卷第5页（共6页）理科数学试卷第6页（共6页）20.（本小题满分12分）已知(2,0)A−，(2,0)B，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为34−.（1）求动点C的轨迹方程；（2）设直线l与（Ⅰ）中轨迹相切于点P，与直线4x=相交于点Q，且(1,0)F，求证：90PFQ=.21.（本小题满分12分）已知函数()baxxxexfx+++=2，曲线()xfy=在点()()0,0f处的切线方程为0324=−−yx(1)求ba,的值；(2)证明:()xxfln.22．【选修4—4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31212xtyt=−=(t为参数)，曲线C的极坐标方程为4cos=．(I)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(II)设点()1,0P，直线l与曲线C相交于A，B，求11PAPB+的值.23．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数()123fxxx=−+−．(I)解关于x的不等式()4fx；(II)若()20fxmm−−恒成立，求实数m的取值范围．理科数学试卷第1页（共8页）理科数学试卷第2页（共8页）zyxFEDCBASG包钢四中最后一次模拟考试参考答案：1.A2.B3.D4.B5．A6．A7.B8．C9．C10.D11.A12.C13.1.9614．15．916.112,1ninnnNSn==+三、解答题17．（1）解法1：由已知，得coscos2cosaBbAcA+=．由正弦定理，得sincossincos2sincosABBACA+=…………………………1分即sin()2sincosABCA+=．…………………………………………………2分sin2sincosCCA=．………………………………………4分因为sin0C，所以1cos2A=．……………………………………5分因为0A，所以3A=…………………………………………6分解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222acbbcaacbacbc+−+−=−．……………………1分即222bcabc+−=．………………………………………………3分所以2221cos22bcaAbc+−==．…………………………………………5分因为0A，所以3A=………………………………………………6分（2）解法1：由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得224bcbc+=+，………………………………7分即2()34bcbc+=+．…………………………………………………8分因为22bcbc+，…………………………………………………………9分所以223()()44bcbc+++．即4bc+（当且仅当2bc==时等号成立）．……11分所以6abc++．故△ABC周长abc++的最大值为6．………………12分解法2：因为2sinsinsinabcRABC===，且2a=，3A=，所以43sin3bB=，43sin3cC=．………………………8分所以()432sinsin3abcBC++=++4322sinsin33BB=++−……9分24sin6B=++．……………………………………10分因为203B，所以当3B=时，abc++取得最大值6．故△ABC周长abc++的最大值为6．………………12分18．【解析】（Ⅰ）连接AC，设ACBEG=，则平面SAC平面EFBFG=，//SA平面EFB，//SAFG，GEAGBC，12AGAEGCBC==，1123SFAGSFSCFCGC===，13=；（Ⅱ）5,,2SASDSEADSE==⊥=，又2,60ABADBAD===，3BE=222SEBESB+=，SEBE⊥，SE⊥平面ABCD，以,,EAEBES所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,3,0),(0,0,2)ABS，平面SEB的法向量(1,0,0)mEA==，设平面EFB的法向量(,,)nxyz=，则(,,)(0,3,0)00nEBxyzy⊥==，2yx=理科数学试卷第3页（共8页）理科数学试卷第4页（共8页）(,,)(1,0,2)02nGFnASxyzxz⊥⊥−==，令1z=，得(2,0,1)n=，25cos,5||||mnmnmn==，即所求二面角的余弦值是255．………………（12分）19．（12分）（1）由题意可知22(24321624)(24241632)(2432)(1624)(2416)(3224)+++−=++++960.0781225=．………………………………2分又因为195%5%−=，而且查表可得2(3.841)0.05P=，因为0.0783.841，因此没有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．………………………………3分（2）因为测试结果为“优秀”的青少年共有40人，且知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人只有6人，因此11346240CC17(1)C65PX===．………………………………6分（3）○1因为1.275047.9215.58−=，1.277047.9240.98−=，所以ˆy的取值范围是[15.5840.98,]．………………………………9分○2图如下．描述y与x关系的更好的方案之一是：借助非线性函数进行描述．………………………………12分20.解：（1）设(,)Cxy，则依题意得34ACBCkk=−，又(2,0)A−，(2,0)B，所以有3(0)224yyyxx=−+−，整理得221(0)43xyy+=，即为所求轨迹方程.┄┄┄┄┄┄5分（2）设直线l：ykxm=+，与223412xy+=联立得2234()12xkxm++=，即222(34)84120kxkmxm+++−=，依题意222(8)4(34)(412)0kmkm=−+−=，即2234km+=，┄┄┄┄┄┄8分∴122834kmxxk−+=+，得122434kmxxk−==+，∴2243(,)3434kmmPkk−++，而2234km+=，得43(,)kPmm−，又(4,4)Qkm+，┄┄┄┄┄┄10分又(1,0)F，则43(1,)(3,4)0kFPFQkmmm=−−+=.知FPFQ⊥，即90PFQ=.理科数学试卷第5页（共8页）理科数学试卷第6页（共8页）21.（1）解：()()axexxfx+++=21，由题意有()()−===+=230210bfaf，解得23,1−==ba┄┄┄┄┄┄4分（2）证明：（方法一）由（1）知，()232−++=xxxexfx.设()xxxxex