江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题15 应用题（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第1页共40页专题15：应用题目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：几何背景类型...................................................................................................................................2类型二：函数、数列背景类型.....................................................................................................................25南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第2页共40页问题归类篇类型一：几何背景类型一、考题回顾*1、（2008江苏高考，平面几何背景）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OPx(km)，将y表示成xx的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP＝1010tan10－10ta，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx（Ⅱ）选择函数模型①，'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12，因为04，所以=6，当0,6时，'0y，y是的减函数；当,64时，'0y，y是的增函数，所以当=6CBPOAD南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第3页共40页时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处。**2．（2013江苏高考，平面几何背景）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案：(1)1040m，(2)3537t，(3)1250625,4314．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得5007103350v，解得12506254314v，所以为使两位游客在C处互相南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第4页共40页等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在1250625,4314(单位：m/min)范围内．**3.（2018江苏高考，平面几何背景）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,AB均在线段MN上，,CD均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解析:（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f′．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第5页共40页令()=0f′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()0f′，所以f（θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()0f′，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．**4．（2014江苏高考，解析几何背景）如图：为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处，（OC为河岸），4tan3BCO.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？答案：（1）150m；（2）10m．解析：（1）以,OCOA为,xy轴建立直角坐标系，则(170,0)C，(0,60)A，由题意43BCk，直线BC方程为4(170)3yx．又134ABBCkk，故直线AB方程为3604yx，由4(170)33604yxyx，解得80120xy，即(80,120)B，所以22(80170)120150BC()m；（2）设OMt，即(0,)Mt(060)t，由（1）直线BC的一般方程为436800xy，圆M的半南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第6页共40页径为36805tr，由题意要求80,(60)80,rtrt，由于060t，因此36805tr6803313655tt，∴313680,53136(60)80,5tttt∴1035t，所以当10t时，r取得最大值130m，此时圆面积最大．*5.（2015江苏高考，解析几何背景）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12ll，，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到12ll，的距离分别为5千米和40千米，点N到12ll，的距离分别为20千米和2.5千米，以12ll，所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数2ayxb（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.答案：（1）1000,0;ab（2）①6249109(),4fttt定义域为[5,20]，②min102,()153tft千米解析：（1）由题意知，点，的坐标分别为5,40，20,2.5．将其分别代入2ayxb，得40252.5400abab，解得10000ab．（2）①由（1）知，21000yx（520x），则点的坐标为21000,tt，设在点处的切线l交x，y轴分别于，点，32000yx，MNl2l1xyOCPl南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第7页共40页则l的方程为2310002000yxttt，由此得3,02t，230000,t．故22622433000341022tftttt，5,20t．②设624410gttt，则6516102gttt．令0gt，解得102t．当5,102t时，0gt，gt是减函数；当102,20t时，0gt，gt是增函数．从而，当102t时，函数gt有极小值，也是最小值，所以min300gt，此时min153ft．答：当102t时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．*6.(2011江苏高考，立体几何背景)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．答案：(1)15，(2)x＝20时，包装盒的高与底面边长的比值为12.解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得.300),30(22260,2xxxhxa（1）,1800)15(8)30(842xxxahS所以当15x时，S取得最大值.（2）).20(26),30(22222xxVxxhaV由00xV得（舍）或x=20.当)20,0(x时，.0)30,20(;0VxV时当所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.此时1122ha即装盒的高与底面边长的比值为1.2南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第8页共40页*7.(2016江苏高考,立体几何背景)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABCD，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDABCD(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO是正四棱锥的高1PO的4倍.（1）若16m,2m,ABPO则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当1PO为多少时，仓库的容积最大？答案：（1）312（2）123PO解析：由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积22311111=6224m;33VABPO锥正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积2231=68288m.VABOO柱所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.(2)设A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则0