江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题03 三角函数与解三角形（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第1页共39页专题3：三角函数与解三角形目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：同角三角函数求值...........................................................................................................................2类型二：三角函数的图像与性质...................................................................................................................6类型三：两角和与差的三角函数.................................................................................................................13类型四：三角恒等变换.................................................................................................................................16类型五：解三角形.........................................................................................................................................19综合应用篇.............................................................................................................................................................25一、例题分析.................................................................................................................................................25二、巩固练习.................................................................................................................................................30南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第2页共39页问题归类篇类型一：同角三角函数求值一．前测回顾1．(1)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于_____________．答案：－512．（2）已知tan＝2，则sincos＋cos22sincos＋sin2＝，sin2－2sincos＋2＝．答案：38；2．(3)已知sinα＋cosα＝15，α∈(0，π)，则cosα－sinα＝，tanα＝．答案：－75；－43解析：sinα＋cosα＝15，α∈(0，π)，且sin2α＋cos2α＝1，得到sinα＝45，cosα＝－35二、方法联想1．三角函数求值(1)知一求其余三角函数值；(2)关于sinα与cosα的齐次式，同除cos或cos2，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．(3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα间关系式注意根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．三、方法应用例1．已知,为锐角,45tan,cos().35(1)求cos2的值;(2)求tan()的值.解：（1）因为4tan3，sintancos，所以4sincos3．sinα＋cosαsinα－cosαsinαcosαsinα和cosαtanαsin2α南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第3页共39页因为22sincos1，所以29cos25，因此，27cos22cos125．（2）因为,为锐角，所以(0,π)．又因为5cos()5，所以225sin()1cos()5，因此tan()2．因为4tan3，所以22tan24tan21tan7，因此，tan2tan()2tan()tan[2()]1+tan2tan()11．例2．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos,sin5cos3ABC.（1）求tanC的值；（2）若2a，求ABC的面积.解：（1）因为20,cos3AA，得25sin1cos3AA.又525cossinsin()sincoscossincossin33CBACACACCC,所以tan5C.（2）由tan5C，得51sin,cos66CC，于是5sin5cos6BC，由2a及正弦定理sinsinacAC，得3c.设ABC得面积为S，则15sin22SacB.例3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＝35，tan(B－A)＝13.(1)求tanB的值；(2)若c＝13，求△ABC的面积．解析：(1)在△ABC中，由cosA＝35，知A为锐角，所以sinA＝1－cos2A＝45，所以tanA＝sinAcosA＝43，所以tanB＝tan[(B－A)＋A]＝tan（B－A）＋tanA1－tan（B－A）tanA＝13＋431－13×43＝3.南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第4页共39页(2)由(1)知tanB＝3，所以sinB＝31010，cosB＝1010，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝131050.由正弦定理bsinB＝csinC，得b＝csinBsinC＝13×31010131050＝15所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×15×13×45＝78.例4．已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝sinαcosα＝43，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.例5．已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255，故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22(cosα＋sinα)＝22×－55＝－1010.(2)因为sin2α＝2sinαcosα＝－45，cos2α＝cos2α－sin2α＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－33＋410.例6．如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第5页共39页且(,)62.将角的终边按逆时针方向旋转3，交单位圆于点B，记A(x1，y1)，B(x2，y2).（1）若113x，求2x；（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若122SS，求角的值.解：（1）由三角函数定义，1cosx，2cos()3x，因为(,)62，1cos3，所以222sin1cos3.213126cos()cossin3226x.（2）依题意，1siny，2sin()3y，所以111111cossinsin2224Sxy，)322sin(41-)3sin()3cos(2121222yxS,依题意，2sin22sin(2)3，化简得cos20，因为62，则23，所以22，即4.四、归类巩固*1．已知sinα＝45，并且α是第二象限角，则cosα的值为．(已知三角函数正弦值，求余弦值)答案：－35．*2．已知tanα＝3，且π＜α＜3π2，则cosα－sinα＝．（已知三角函数正切值，求正弦、余弦值）南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第6页共39页答案：105．解析：sinαcosα＝3且sin2α＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值．．**3．若tan()24，则sin2的值为．（已知三角函数正切值，求二倍角正弦）答案：35．**4．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝．(构造方程组求解sinα，cosα)答案：2．解析：结合sin2α＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值．***5．定义在区间π02，上的函数5cos2yx的图象与2sinyx的图象的交点横坐标为0x，则0tanx的值为．答案：34解析：令5cos22sinxx，即25(12sin)2sinxx，所以210sinsin30xx，因为π02x，，所以3sin5x，即，从而03tan4x．03sin5x类型二：三角函数的图像与性质一、前测回顾1．（1）函数y＝sin(2x－3)的定义域为．答案：[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．（2）函数y＝sin(2x＋6)，x∈[0，π3]的值域为．答案：[－12，1]．（3）已知＞0，在函数y＝2sinx与y＝2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则的值为．答案：π2．（4）函数y＝2cos(3x－3)单调减区间为．答案：[2kπ3＋π9，2kπ3＋4π9](k∈Z)．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第7页共39页（5）函数y＝sin(2x＋4)的对称轴为；中心对称点为．．答案：x＝kπ2＋π8(k∈Z)；(kπ2－π8，0)(k∈Z)；2．（1）函数y＝2sin2x＋3sinxcosx＋3cos2x的值域为．答案：[12，52]．（2）函数y＝4sin2x－12cosx－1，xÎ[－π6，2π3]的值域为．答案：[－13，8]．（3）函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2,xÎ[0，π]的值域为．答案：[34，3＋2]．（4）函数y＝sinx＋1cosx－1的值域为．．答案：[0，＋∞)．提示