江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题01 基本初等函数（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第1页共21页专题1：基本初等函数目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：分段函数...........................................................................................................................................2类型二：求函数的解析式...............................................................................................................................4类型三：二次函数...........................................................................................................................................6类型四：指数函数与对数函数.......................................................................................................................8类型五：函数的零点问题..............................................................................................................................11综合应用篇.............................................................................................................................................................13一、例题分析.................................................................................................................................................13二、反馈巩固.................................................................................................................................................16南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第2页共21页问题归类篇类型一：分段函数一、前测回顾1．已知函数f(x)＝x＋1，x≥1，－x2＋4，x＜1，①若f(x)≥2，则x的取值范围为．②f(x)在区间[－1，3]的值域为．答案：①[－2，＋∞)；②[2，4]．2．设函数f(x)＝2x3－1，x≥0，1x，x＜0，若f(f(b))＝－2，求实数b的值．答案：b＝34或－2．二、方法联想方法1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)；方法2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题．三、方法应用例1设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝x＋a，－1≤x＜0，25－x，0≤x＜1，其中a∈R.若f－52＝f92，则f(5a)的值是________.解析由已知f－52＝f－52＋2＝f－12＝－12＋a，f92＝f92－4＝f12＝25－12＝110.又∵f－52＝f92，则－12＋a＝110，∴a＝35，∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋35＝－25.答案－25例2已知函数f(x)＝x2－4，x≤0，ex－5，x0.若关于x的方程|f(x)|－ax－5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第3页共21页的所有实数a的取值集合为________.解析关于x的方程|f(x)|－ax－5＝0有三个不同的实数解，即函数y＝|f(x)|与函数y＝ax＋5(过定点(0，5))的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示，①当a0时，y＝ax＋5与y＝4－x2(x0)相切，即x2＋ax＋1＝0，由Δ＝a2－4＝0，a0，得a＝2，当a＝2时，符合题意；当y＝ax＋5经过点(－2，0)时，a＝52也符合题意；②当a0时，y＝ax＋5与y＝5－ex(x0)相切，设切点(x0，5－ex0)，x00，则切线方程为y－(5－ex0)＝－ex0(x－x0)，代入点(0，5)，解得x0＝1，此时a＝－e，符合题意；当y＝ax＋5经过(ln5，0)时，a＝－5ln5，也符合题意；③当a＝0时，两函数的图象有两个交点，不符合题意.综上所述，满足条件的所有实数a的取值集合为－e，－5ln5，2，52.答案－e，－5ln5，2，52例3设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝x2，x∈D，x，x∉D，其中集合D＝xx＝n－1n，n∈N*，则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是________.解析由于f(x)∈[0，1)，则只需考虑1≤x10的情况，在此范围内，x∈Q，且x∉Z时，设x＝qp，p，q∈N*，p≥2且p，q互质.若lgx∈Q，则由lgx∈(0，1)，可设lgx＝nm，m，n∈N*，m≥2且m，n互质.因此10nm＝qp，10n＝qpm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lgx∉Q，因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只考虑lgx与每个周期x∉D部分交点，画出函数草图如图.南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第4页共21页图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D部分，且x＝1处(lgx)′＝1xln10，因1ln101，则在x＝1附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为8个.答案8四、归类巩固*1．已知f(x)＝2x，x≤1，log2x＋1，x＞1，则f[f(－1)]＝．答案：0．(考查分段函数求值问题)*2．设函数f(x)＝1＋log2(2－x)，x＜12x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝．答案：9**3．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．答案：[0，＋∞)**4．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0ln(x＋1)，x＞0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是．答案：[－2，0]***5．已知函数f(x)＝|lnx|，x＞0x2＋4x＋1，x≤0，若关于x的方程f(x)2－bf(x)＋c＝0(b，c∈R)有8个不同的实数根，则b＋c的取值范围是．答案：(0，3)***6已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝0，0＜x≤1|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．答案：4类型二：求函数的解析式一、前测回顾1．已知f[f(x)]＝9＋4x，且f(x)是一次函数，则f(x)＝．若f(x2＋1)＝x2，则f(x)＝．答案：①2x＋3或－2x－9；②．x－1(x≥1)2．已知函数满足2f(x)＋f(1x)＝x，则f(2)＝；f(x)＝．答案：76，23x－13x二、方法联想方法1：待定系数法；方法2：换元法、拼凑法；南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第5页共21页方法3：函数方程法．三、方法应用例1(1)已知f1－1x＝2x－1，则f(x)＝________．(2)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋1)－f(x－1)＝2x＋1，则f(x)＝________．(3)已知fx＋1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________．(4)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋2f(－x)＝x2－x，则f(x)＝________．略解(1)用换元法，设t＝1－1x，求出f(t)，即可求出f(x)；(2)用待定系数法，设f(x)＝ax＋b(a≠0)；(3)用配凑法，将x2＋1x2配成x＋1x2的形式；(4)用消去法，以－x替换已知条件中的x，得到另一个方程，解方程组可得f(x)的解析式．例2图中的图像所表示的函数解析式为___________．略解：由图可知，当0≤x≤1时，y＝3x2；当1x≤2时，y＝－32x＋3.故y＝32－32|x－1|(0≤x≤2)．四、归类巩固*1．已知f(x)＝x2＋3x＋2，则f(x＋1)＝________．答案：x2＋5x＋6．*2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．答案：2x＋7*3．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)的表达式为______答案：12x2＋12x．**4．已知f2x＋1＝lgx，则f(x)＝_________．答案：lg2x－2．**5．若2f(x)－f(－x)＝x，则f(x)＝．答案：则f(x)＝x3．***6．若f(x－2x)＝x2＋4x2－3x＋6x，则f(x)＝．答案：x2＋－3x＋4．南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第6页共21页类型三：二次函数一、前测回顾1．若二次不等式f(x)＜0的解集为(1，2)，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，2)，则f(x)＝．答案：13x2－x＋23；．2．已知f(x)＝－x2＋2x－2，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，则h(t)＝．已知函数满足2f(x)＋f(1x)＝x，则f(2)＝；f(x)＝．答案：－t2＋2t－2，t＜12－t2－1，t≥12二、方法联想二次函数的解析式一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．二次函数在给定区间内的值域与最值问题:方法:结合图象，分区间讨论．步骤:①配方求对称轴（也可以用公式），画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)；②结合图象，由函数的单调性，求出最值．若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值．三、方法应用例1(1)已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间[2，5]上单调且最大值为8，则实数t的值为________．(2)已知函数f(x)＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，则实数t的值为________．解：(1)易知函数f(x)＝x2－2tx＋1图像的对称轴方程是x＝t，因为函数在区间[2，5]上单调，所以t≤2或t≥5.若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上单调递增，故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8，解得t＝95；若t≥5，则函数f(x)在区间[2，5]上单调递减，故f(x)max