湖南省长沙市明德中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考（入学考试）试题（PDF）

试卷第1页，共4页明德中学2020年上学期第一次月考高二年级数学试卷2020年3月时量：120分钟满分：150分命题：邓朝发审定：王正飞第I卷（选择题共60分）一、选择题（本小题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中是偶函数的是()A.2sinyxxB.2cosyxxC.2tanyxxD.lnyx2．已知,mn为异面直线，m平面，n平面，l，则直线l（）A.与,mn都相交B.至多与,mn中的一条相交C.与,mn都不相交D.至少与,mn中的一条相交3．已知ABC中，若3,abcbasin23sinCB，其中内角,,ABC的对边分别为,,abc，则tan2A（）A.3B.3C.33D.334．若等边ABC的边长为1，平面内一点M满足1132CMCBCA,则MAMB()A.29B.13C.49D.595．如下图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，用B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则()PBAA.12B.13C.14D.156．已知等差数列na，满足20192020201920200,.0aaaa，且数列na的前n项和ns最大值，那么ns取最小正值时，n（）A.4037B.4036C.4035D.40347．根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为ˆybxa，则()A．0a，0bB．0a，0bC．0a，0bD．0a，0b8．社会上有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性，这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：男女总计无403575有151025总计5545100试卷第2页，共4页附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋dP(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706据此表，可得（）.A．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%B．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50%C．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过70%D．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%9．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为()A.23B.12C.34D.1410．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是()A.0，712B.712，1C.0，12D.12，111．已知,PQ为抛物线22xy两点，点,PQ横坐标分别为4,2，过,PQ作抛物线的两条切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A.1B.3C.4D.812．定义在R上的可导函数()fx满足(1)1f，且2()1fx，当3,22x，不等式23(2cos)2sin22xfx的解集为（）A4(,)33B.4(,)33C.(0,)3D.(,)33第II卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．已知,0,235mnmn，则23mn的最小值为________．14．随机变量2(,)XN，22()21()2xfxe满足：(1),()()xRfxfx；1(2)()2fe,则(12)PX=________．附：P(μ－σX≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σX≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σX≤μ＋3σ)≈0.9973.15．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队先赢得四场比赛时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是________．16．椭圆1:C22221(0)xyabab与双曲线2:C22221(0,0)xymnmn有相同的焦点，左右焦点分别为12FF、,且在第一象限的交点为P，椭圆1C与双曲线2C离心率分别为12,ee，若1223FPF，2(2,7)e，则1e________．.（答案要填区间）试卷第3页，共4页三、解答题(本大题共6小题，共70分，，其中17题满分10分，其余解答题均为12分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．在ABC中，已知4A，25cos5B(1)求cosC；(2)已知D是AB的中点，25BC，求CD长．18．已知12,aa是方程212270xx两个根，数列na是递增的等差数列，数列nb的前n项和为nS，且11()2nnSbnN．(1)求,nnba的通项公式；(2)记nnncab，求数列nc的前n项和nT．19．如下图，在直三棱柱111ABCABC中，1,2,4ABACABACAA，D是BC的中点.求证：(1)11 //ABADC平面；(2)直线11BC与平面1ADC所成角的余弦值．试卷第4页，共4页20．如图，已知椭圆222:1xCya上顶点为A,右焦点为F，直线AF与圆22:6270Mxyxy相切，其中1a.(1)求椭圆的方程；(2)不过点A的动直线l与椭圆C相交于,PQ两点，且APAQ,证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标．21．2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为 01pp，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为(),0.aXaNX，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）求一天内被感染人数为X的概率PX与a、p的关系式和随机变量X的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为)2(nEn.（i）求数列nE的通项公式，并证明数列nE为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率ln123ppp，当p取最大值时，计算此时p所对应的6E值和此时p对应的6E值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取10a）（结果保留整数，参考数据：12ln51.6,ln31.1,ln20.7,0.3,0.733）22．已知函数2()2ln()fxxxaxaR．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若函数()fx有两个极值点1212,()xxxx，不等式12()fxmx恒成立，求实数m的取值范围．2020年高二数学第一次月考考试参考答案及评分标准一、选择题1．B2.D3.A4.A5.C6.A7.A8.A9.B10.C11.C12D10题解析：2()(1).1(2)2(3)333EXPXPXPXpp1()1.75(0,)(1)2EXpp注11题解析：利用导数，求出过Ｐ，Ｑ的切线方程，之后联立:48,22(1,4)pQlyxlxA12题解析：结合条件，构造111()(),()()0222gxfxxgxfx()gxR在上为增函数，23(2cos)2sin22xfx又1(2cos)cos02fxx,(2cos)(1)0,2cos1gxgx从而(,)33xx结合题目中的范围，所以二、填空题13．514.0.135915.0.1816.725(,)33三、解答题17.解析(1)10coscos()(coscossinsin)10CABABAB…………………5分(2)310(1)sin10C由知，另外由正弦定理：6sinsinBCABABAC…………………7分22210(25)32(25)(3)()5,510BCDCD中，由余弦定理：CD…………………10分18.解析：(1)253.92,21.............3naadan分当-1-11121122nnnnnsbsb时，由得，从而11111223nnnnnbbbbb1221,33nnnbb时，…6分(2)由（1），可知4222,233nnnnnncT………….12分（酌情给分）19.解析：略(1)……………6分(2)13……………12分20解析：(1)2213xy………4分(2)证明：,0APAQAPAQ..易知直线AP与坐标轴不垂直，设:1APykx，1:1AQyxk将1ykx代入椭圆C的方程，整理得：22(13)60kxkx，从而：2266(,1)1313kkPkk，从而同理，把k用1k代，得到2263(,)33kkQkk，所以214PQkKk，从而2111(0,)........12422kPQyxk方程为：，过定点分21.解析：（1）()(1)XXaXaPXCpp；EXap.（2）（i）2(1)nnEapap，证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.【分析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)XBap，则可求出概率及数学期望；（2）（i）根据第n天被感染人数为1(1)nap，及第1n天被感染人数为2(1)nap，作差可得可得，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap，可证，（ii）利用导数计算此时p所对应的6E值和此时p对应的6E值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.【详解】：（1）由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)XBap，则()(1)XXaXaPXCpp,(0)Xa，X的数学期望EXap………..4分（2）（i）第n天被感染人数为1(1)nap，，第1n天被感染人数为2(1)nap，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)nnnnEapapapap则11nnEapE，且2Eap.{}nE∴是以ap为首项，1ap为公比的等比数列……….6分（ii）令2()ln(1)3fppp，则1221()133(1)pfppp.()fp∴在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减.max1311()()lnln3ln21.10.70.30.12233fpf.则当10a，210(110)nnEpp.46100.1(1100.1)=16E.46100.5(1100.5)=6480E.66EE戴口罩很有必要…….12分22解析：(1)222()22(0)axxafxxxxx11480,()0,()2aafxfx时，单调增；12480,2aa时，即1211-1-2112()0=,(0)22aafxxxx由0,a若由2()0;fxxx由2(