湖南省师范大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（PDF）

书书书数学试题第!!!!!页!共页数!!学时量!!#$分钟!!!满分!!%$分得分!!!!!!第!卷!选择题!共&$分一!选择题!本大题共!#小题#每小题%分#共&$分!在每小题给出的四个选项中#只有一项是符合题目要求的!!!已知集合’####’!##$’(!#$#!!#则)*$$’$+*%$’,*&$-*’$#!命题$函数%’&%#&%#&&是偶函数’的否定可表示为)*(#&#&%(#&’&%#&+*(#&#&%(#&)&%#&,**#$&#&%(#$&’&%#$&-**#$&#&%(#$&)&%#$&.!设命题’(函数%’/01##的最小正周期为#)命题((函数%’23/#的图象关于直线#’#对称!则下列判断正确的是)*’为真+*+(为假,*’,(为真-*’-(为假4!若).*#则)*51%)(*&.$+*.)/.*,*).(*..$-*0)0.0*0%!曲线%’&%#&’#51#在点%!#&%!&&处的切线方程是)*%’#6!+*%’#(!,*%’#-*%’7#(7&!设非零向量!#满足#!6#’#!(##则)*!1+*#!#’##,*!2-*#!#.##8!已知函数%’&%#&的图像是下列四个图像之一#且其导函数%’&%&+#的图像如右图所示#则函数&%#&的图像是数学试题第#!!!!页!共页!设,!#,#为椭圆-(##.&6%##$’!的两个焦点#为-上一点且在第一象限#若3,!,#为等腰三角形#则3,!,#的面积为槡槡槡槡)*%.+*!$.,*#!%-*4!%9!如图#在平行六面体./-0(.!/!-!0!中#底面是边长为!的正方形#若4.!./’4.!.0’&$:#且.!.’.#则.!-的长为槡槡)*%+*##槡槡,*!4-*!8!$!$)5$’是$函数&%#&’%)#(!&#在区间%$#6;&内单调递增’的)*充分不必要条件+*必要不充分条件,*充分必要条件-*既不充分也不必要条件!!!设1为坐标原点#点2是以,为焦点的抛物线%#’#’#%’.$&上任意一点#是线段2,上的点#且#2#’##,##则直线1的斜率的最大值为)*槡..+*#.,*槡##-*!!#!设函数&%#&’51##且#$##!###&%$#6;&#下列命题(#若#!/###则!##.&%#!&(&%##&#!(##)$存在#$&%#!###&##!/###使得!#$’&%#!&(&%##&#!(##)%若#!.!###.!#则&%#!&(&%##&#!(##/!)&对任意的#!####都有&#!6##%&#.&%#!&6&%##&#!其中正确的命题个数是)*4+*.,*#-*!答题卡题号!#.4%&89!$!!!#得分答案第’卷!非选择题!共9$分二!填空题!本大题共4小题#每小题%分#共#$分!将答案填在答题纸上!.!已知!’%##!#.&#’%(!#.#9&#若向量!与共线#则#的值是!!!!!!!4!若三个点%(##!&#%(##.&#%##(!&中恰有两个点在双曲线-(##)#(%#’!%).$&上#则双曲线-的离心率为!!!!!!数学试题第.!!!!页!共页!%!已知函数&%#&’#####53###(#3#643##.3!#其中3.$#若存在实数*#使得关于#的方程&%#&’*有三个不同的根#则3的取值范围是!!!!!!!&!已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上#若过该球球心的一个截面如下图#且图中三角形%正四面体的截面&的面积是槡4##则该球的表面积为!!!!!!三!解答题!本大题共&小题#共8$分!解答应写出文字说明$证明过程或演算步骤!!8!!本小题满分!$分已知公差不为零的等差数列!)4的前4项和为54#5.’!##且)!#)##)4成等比数列#数列!*4满足*4’)!6)#6)46*6)#4(!#4’!###*!%!&求数列!)4#!*4的通项公式)4+*4)%#&若在数列!)4中去掉数列!*4中的项#剩下的项按原来顺序排成新数列!64#求6#$!9的值!数学试题第4!!!!页!共页!!!本小题满分!#分如图所示#在平面四边形./-0中#0.1./#-0’.7’#70’##4.0-’#.#4/7-’.#4-70’!!%!&求/01!的值)%#&求/7的长!数学试题第%!!!!页!共页!9!!本小题满分!#分某企业为了检查生产.产品的甲+乙两条流水线的生产情况#随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取%$件产品作为样本#测出它们的这一项质量指标值!若该项质量指标值落在!9%#,&#!$内#则为合格品#否则为不合格品!表!是甲流水线样本的频数分布表#图!是乙流水线样本的频率分布直方图!质量指标值频数,!9$#!9%&9,!9%##$$&!$,#$$##$%&!8,#$%##!$&,#!$##!%&&!!!!!!表!(甲流水线样本的频数分布表!!图!(乙流水线样本的频率分布直方图%!&根据图形#估计乙流水线生产的.产品的该项质量指标值的中位数)%#&设该企业生产一件合格品获利!$$元#生产一件不合格品亏损%$元#若某个月内甲+乙两条流水线均生产了!$$$件产品#若将频率视为概率#则该企业本月的利润约为多少元-数学试题第&!!!!页!共页#$!!本小题满分!#分已知.1是圆锥的高#/0是圆锥底面的直径#-是底面圆周上一点#7是-0的中点#平面./-和平面.-0将圆锥截去部分后的几何体如图所示!%!&求证(平面.711平面.-0)%#&若.-’/0’##/-槡’##求二面角/(.-(0的余弦值!数学试题第8!!!!页!共页#!!!本小题满分!#分已知函数&%#&’7#23/#()##8%#&’&+%#&#)&%!%!&试判断函数8%#&在,$##.上的单调性#并说明理由)%#&若&%#&是在区间,$#.上的单调函数#求)的取值范围!数学试题第!!!!页!共页##!!本小题满分!#分已知椭圆-(##)#6%#*#’!%).*.$&的右焦点为,#离心率为槡.##2是椭圆-上位于第一象限内的任意一点#1为坐标原点#2关于1的对称点为2+#2+,62,’4#圆1(##6%#’*#!%!&求椭圆-和圆1的标准方程)%#&过点2作29与圆1相切于点9#使得点,#点9在12的两侧!求四边形1,29面积的最大值!书书书数学参考答案!!!!!数学参考答案一!选择题题号#$%&’()*+#答案,,,-./.,/--.!,#!,$!,%!-&!.’!/!解析#由!01!!两边平方得!!#0#!0#1!#!#!0#!即!1+!则!!故选/!(!.!解析#由导函数的图像可知导函数的函数值在#!!$上大于零!所以原函数递增!且导函数值在#!!+$上递增!即原函数在#!!+$上切线的斜率递增!导函数的函数值在#+!$上递减!即原函数在#+!$上切线的斜率递减!所以选.!)!,!解析#设%#!$&!#!$#+!椭圆%’&#$’0’##+1的(1’!)槡1#&!*1%!+1*(1#$!由于为%上一点且在第一象限!可得$,$#$,#$!%,,#为等腰三角形!可能$,$1#*或$,#$1#*!即有’0#$#1)!即#1$!$槡1&(或’!#$#1)!即#1!$&+!舍去!故%,,#的面积为槡%&!故选,!*!/!解析#根据向量的线性运算$-’((%$1-%’((槡#1%-’((-0’((-.0’((.%&槡#1-’((-#0’((-.#0’((.%#0#-’((-’((-.0#-’((-’((.%0#’((-.’((槡.%1*000#2$2!!#0#2$2!!#槡0+槡槡1!’1&!故选/!+!-!解析#当(1+时!/%&&1$&$!3/%&&在区间%+!04&内单调递增(当(&+时!/%&&1(&!!(&中一个根(&+!另一个根为+!由图象可知/%&&在区间%+!04&内单调递增(3)()+*是)函数/%&&1%(&!&&在区间%+!04&内单调递增*的充分条件!反之!若/%&&1(&!!(&在区间%+!04&内单调递增!则(1+或(&+!即()+!3)()+*是)函数/%&&1$%(&!&&$在区间%+!04&内单调递增*的必要条件!故选-!!-!解析#如图所示!设0%&+!’+&%’+#+&!则’#+1#1&+!即&+1’#+#1!设%&2!’2&!由’((01#’((,!得&2110&+$!’21’+$*+,!数学参考答案!#!!!!3直线3的斜率为41’+$10&+$1’+10’#+#11#1#1#’+0’+)#1##1槡#1槡##%当且仅当’+槡1#1时取等号&!故选-!#!.!解析#如图!对于!!&#表示曲线’1/%&&156&在点.%&#!56&#&处的切线的斜率!小于割线-.的斜率!所以!错(对于!在弧-.之间!必存在某点!使过该点的切线的斜率等于割线-.的斜率!所以对(对于#!割线-.的斜率小于过点%!+&的切线的斜率!所以#对(对于$!由图中的直角梯形的中位线%5的长/%&&0/%&#&#必小于/&0&#!#!所以$对!故选.!二!填空题$!!$%!槡’#&!!$#04!解析#函数’1$&$为偶函数!且左减右增!函数’1&#!##&0%#%&##&图象的对称轴为&1#!且在对称轴右侧单调递增!故当&)#时函数/%&&先减后增!当&##时函数/%&&单调递增!画出函数大致图象如图所示!要使/%&&1)有三个不同的根!则必须满足####!###0%#!解得##$!’!#%%!解析#设正四面体的棱长为(!过该球球心的一个截面如图为%-.,!于是图中-.1(!6为-.中点!则6,5%!在%5%6中!5616%1槡$(#!5%1(!36,1槡#(#!因为三角形-.,的面积是槡%#!所以有#2(2槡##(槡1%#!3(1%!于此该球的半径71$%2槡’$槡2%1’!381%%7#1#%%!三!解答题(!解析#%&设等差数列+($,的公差为9%9-+&!由题设知!8$1#1$(#!3(#1%!又(##1((%!3%%!9&%%0#9&1’!解得91#!(1#!所以($1#$!$.%/$分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)$1(0(#0(%0-0(#$!1#%0#0##0-0#$!&1#%#$!&!$.%/!’分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%#&由%&知)$1(#$!!所以)+1(+#$!)1(#+%(!由此可知*#+*1(#+#*1%+&)!+分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)!解析#%&在%%56中!由余弦定理!得6%#1%5#056#!#%565789065%1(!数学参考答案!$!!!!在%%56中!由正弦定理!得6%9:6065%1%59:6!!于是!9:6!1%59:6#%$6%1#2槡$#槡(1槡#(!’分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%#&由题设知!+&!&%$!于是由%&知!789!1!9:6#槡!1!#槡%*1槡#((!而0-6.1#%$!!!所以7890-6.1789#%$!!!1789#%$789!09:6#%$9:6!1槡(%!在;%6-.中!.61#槡(%槡1%(!#分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*!解析#%&因为前三组频率之和为%+!+#0+!+$#0+!+%)&2&1+!%’!所以中位数位于第四组!设中位数为(!则%(!#+&&2+!+)1+!+%!解得(1#+&!&!%分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%#&由题意知!甲流水线随机抽取的&+件-产品中合格品有+0(0)1$&%件&则甲流水线生产的-产品为合格品的概率是01$&&+1(+!乙流水线生产的-产品为合格品的概率是0#1%+!+$#0+!+%)0+!+)+&2&1%&!则本月内甲.乙两条流水线均生产的+++件-产品中合格品总件数为+++2(+0+++2)+1&++件!故该企业本月获得的利润为&++2++!&++2&+1#&+++元!#分!!!!!!!!!!#+!解析#%&连结%3!则%31351!又因为6是%5的中点!所以63%