高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

1第一章解三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有：2sinsinsinabcRC．2、正弦定理的变形公式：①2sinaR，2sinbR，2sincRC；②sin2aR，sin2bR，sin2cCR；③::sin:sin:sinabcC；④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当absinA，则B无解当bsinAa≤b,则B有两解当a=bsinA或ab时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC．5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)DbsinAAbaC26、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C．7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面)，求两目标A、B之间的距离。附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.心：三角形三角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（B）A．310B．1310C．13D．3102、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760xx的根，则三角形的另一边长为A．52B．213C．16D．43、在△ABC中，若)())((cbbcaca，则A（C）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆090B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆060C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆0120D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆01504、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D）A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100°C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：26、若△ABC的周长等于20，面积是310，A＝60°，则BC边的长是（C）A．5B．6C．7D．8二、填空题（每题5分,共25分）CABD37、在ABC中，已知4:5:6sin:sin:sinCBA，则cosA___________8、在△ABC中，A=60°,b=1,面积为3，则sinsinsinabcABC=9、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线27AD，那么BC=10、在ABC△中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边72c，且60C，又ABC△的面积为332，则ab________________三．解答题（2小题，共40分）13、在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积.知识点巩固练习（一）一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc等于（）A．1B．1C．32D．322．若A为△ABC的角，则下列函数中一定取正值的是（）A．AsinB．AcosC．AtanD．Atan13．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A．2B．23C．3D．325．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（）A．006030或B．006045或C．0060120或D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）4A．090B．0120C．0135D．0150二、填空题1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。2．在△ABC中，若Acbcba则,222_________。3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。三、解答题1．在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。5知识点巩固练习（二）一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:12．在△ABC中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若BA2，则a等于（）A．Absin2B．Abcos2C．Bbsin2D．Bbcos24．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A()A．090B．060C．0135D．01506．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（）A．51B．61C．71D．81二、填空题1．若在△ABC中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=_______。2．若,AB是锐角三角形的两角，则BAtantan_____1（填或）。3．在△ABC中，若CBCBAtantan,coscos2sin则_________。4．在△ABC中，若,12,10,9cba则△ABC的形状是_________。5．在△ABC中，若Acba则,226,2,3_________。三、解答题1．在△ABC中，0120,,21,3ABCAcbaS，求cb,。62．在锐角△ABC中，求证：1tantantanCBA。3．在△ABC中，求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA。4．在△ABC中，若0120BA，则求证：1cabcba。5．在△ABC中，若223coscos222CAbac，则求证：2acb7知识点巩固练习（三）一、选择题1．A为△ABC的角，则AAcossin的取值围是（）A．)2,2(B．)2,2(C．]2,1(D．]2,2[2．在△ABC中，若,900C则三边的比cba等于（）A．2cos2BAB．2cos2BAC．2sin2BAD．2sin2BA3．在△ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（）A．12B．221C．28D．364．在△ABC中，090C，00450A，则下列各式中正确的是（）A．sincosAAB．sincosBAC．sincosABD．sincosBB5．在△ABC中，若)())((cbbcaca，则A（）A．090B．060C．0120D．01506．在△ABC中，若22tantanbaBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形二、填空题1．在△ABC中，若,sinsinBA则A一定大于B，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC中，若,1coscoscos222CBA则△ABC的形状是______________。3．在△ABC中，∠C是钝角，设,coscos,sinsin,sinBAzBAyCx则zyx,,的大小关系是___________________________。4．在△ABC中，若bca2，则CACACAsinsin31coscoscoscos______。5．在△ABC中，若,tanlgtanlgtanlg2CAB则B的取值围是_______________。6．在△ABC中，若acb2，则BBCA2coscos)cos(的值是_________。三、解答题81．在△ABC中，若)sin()()sin()(2222BAbaBAba，请判断三角形的形状。2．如果△ABC接于半径为R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求△ABC的面积的最大值。3．已知△ABC的三边cba且2,2CAbca，求::abc4．在△ABC中，若()()3abcabcac，且tantan33AC，AB边上的高为43，求角,,ABC的大小与边,,abc的长9答案知识点巩固练习（一）一、选择题1.C00tan30,tan3023,244,23bbacbcba2.A0,sin0AA3.Ccossin()sin,,22AABAB都是锐角，则,,222ABABC4.D作出图形5.D012sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或01506.B设中间角为，则22200005871cos,60,180601202582为所求二、填空题1.1211sinsinsincossin222ABAAA2.012022201cos,12022bcaAAbc3.2600sin6215,,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB4.0120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，令7,8,13akbkck22201cos,12022abcCCab三、解答题1.解：coscoscos,sincossincossinc