河南省2020届高三数学尖子生11月诊断性检测试题 理（PDF）

第1页共4页第2页共4页理科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U=−1,1,3,5,7,9,A={1,5},B=−1,5,7，则CU(AB)=A．3,9B．1,5,7C．−1,1,3,9D．−1,1,3,7,92．已知空间三条直线l,m,n，若l与m垂直，l与n垂直，则A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n平行、相交、异面均有可能3．复数z满足z−1=z+3，则zA．恒等于1B．最大值为1，无最小值C．最小值为1，无最大值D．无最大值，也无最小值4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是A．16B．32C．44D．645．已知x+y0，则“2|x|+x22|y|+y2”是“x0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．函数lncos(2)yx2x=−的图像可能是ABCD7．已知两个不相等的非零向量b,a，满足1=a，且a与ab−的夹角为60，则b的取值范围是A．230，B．1,23C．+,23D．()+，18．已知随机变量的分布列为：xyPyx则下列说法正确的是A．存在x，y()1,0，1()2EB．对任意x，y()1,0，1()4EC．对任意x，y()1,0，()()DED．存在x，y()1,0，1()4D9．设函数()dcxbxaxxf+++=23(),,,0abcdaR且，若()()()14433220==fff，则()()51ff+的取值范围是A．()10，B．()21，C．()3,2D．()4,310．已知21,FF分别为双曲线()0012222=−,babyax的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点2F到直线1PF的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是A．251，B．+，25C．()51，D．()+，511．如图，在菱形ABCD中，60ABC=，E，F分别是边AB，CD的中点，现将ΔABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为A．2B．321C．33D．22（第11题图）第3页共4页第4页共4页12．已知数列na满足11=a，11ln1++=+nnnaaa，记nnaaaS+++=21，t表示不超过t的最大整数，则2019S的值为A．2019B．2018C．4038D．4037二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在2,2−上随机地取一个实数k，则事件“直线kxy=与圆()9522=+−yx相交”发生的概率为．14．如图，在ABC中，ACAB，32=BC，=60A，ABC的面积等于32，则角平分线AD的长等于．15．已知数列na满足naann2151−=++，其前n项和为nS，若nS8S恒成立，则1a的取值范围为．16．已知P为椭圆C：22+143xy=上一个动点，1F、2F是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若12247PFPF=，则d=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知函数xxxfcos3sin)(−=（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角,,ABC所对的边分别是a,b,c，若()3fB=，3b=，求ABC面积的最大值．18．（12分）如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC=2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点．（1）求证：AE//平面PDC；（2）若BC=CD=PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值．19．(12分)已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．20．(12分)如图，斜率为k的直线l与抛物线24yx=交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知()4,0P．（1）求M点的横坐标；（2）求PAB△面积的最大值．21．（12分）已知函数xaxxxf−=ln)(，Ra．（1）若函数)(xf有且只有两个零点，求实数a的取值范围；（2）设函数)(xf的两个零点为21,xx，且21xx，求证exx221+．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为4cos2sinxy==（为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为4,3，直线l的极坐标方程为2sin96−=．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A,B，始终满足AB4=，求MAB△面积的最大值与最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知cba,,为正实数，且满足3=++cba．证明：（1）3++acbcab；（2）3222++accbba．（第14题图）l第1页共7页理科数学答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112ADCBADDCABDD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3814．43315．(,7]−16．142三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．解：()sin3cos2sin()3fxxxx=−=−………………………………2分（1）令22232kxk−−+（kZ）得52266kxk−+（kZ）故函数()fx的单调递增区间为52,266kk−+（kZ）…………………5分（2）由()3fB=，得3sin()32B−=，323+=−kB或,3223+=−kB∴222,3BkBkkZ=+=+或，第2页共7页32=BB是三角形的内角，．………………………………7分∵Baccabcos2222−+=∴922=++acca∴92+acac，即3ac………………………………9分∴133sin24ABCSacB=．………………………………11分当且仅当3ac==时，ABC面积的最大值是334．……………………………12分18．（1）取PC的中点F，连接DF，EF，∵E是PB的中点，∴EF//BC，且BC=2EF，又AD//BC，BC=2AD∴AD//EF且AD=EF，………………………………2分∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE//DF，又DF⊂平面PDC,AEPCD平面，………………………………4分∴AE//平面PDC．………………………………5分（2）若PD=DC，则△PDC是等腰三角形，∴DF⊥PC，又AE//DF，∴AE⊥PC∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC，又BC⊥CD,CDPDD=∴BC⊥平面PDC，………………………………7分∵DF⊂平面PDC∴BC⊥DF∴BC⊥AE又AE⊥PC,PCBCC=∴AE⊥平面PBC，………………………………9分连接EC，AC，则∠ACE就是直线AC与平面PBC所成的角．………………………10分设PD=CD=BC=2，EBAPCDF第3页共7页在Rt△PCB中，求得PC=22，PB=23，EC=3，在Rt△ADC中，求得AC=5,∴在Rt△AEC中，3155cs5oECECAAC===．………………………………12分19．（1）设事件iA为“甲盒中取出i个红球”，事件jB为“乙盒中取出j个红球”则()()2223332256,iijjijCCCCPAPBCC−−==设事件C为“4个球中恰有1个红球”()()()021111022333233301102222565639633C1015101510CCCCCCCCPPABPABCCCC=+=+=+=…………………………………3分（2）可取的值为0,1,2,34，()()02022333002256CCCC30B=CC50PPA===……5分()()31C10PP===()()()()022011112002233323332333021120222222565656112++25CCCCCCCCCCCCPPABPABPABCCCCCC==+=+=………………………………7分()()()112020112333233312212222565693++50CCCCCCCCPPABPABCCCC====…………………9分()()20202333222256CCCC14B=CC50PPA===………………………………10分的分布列为：01234P350310112595050133119190123+450102550505E=+++=………………………………12分第4页共7页20．（1）设112200(,),(,),(,)AxyBxyMxy，则121200,22xxyyxy++==，……1分∴121212042yykxxyyy−===−+，………………………………3分而004MPykx=−，………………………………4分由1MPkk=−得042x−=−，即02x=．………………………………5分（2）设直线0:()2ABxmyy=−+即0:2ABxmymy=−+，与抛物线24yx=联立得204480ymymy−+−=，220164(48)0,2mmym=−−△则121204,48yymyymy+==−，………………………………7分所以222120||1||1161632ABmyymmmy=+−=+−+，而P到直线AB的距离为02|+2|1mydm=+，所以2001||2|2|22PABSdABmymmy==+−+………………………………9分又由于012ymk==，所以22222(22)24(1)2PABSmmmm=+−=+−（22m），…………………10分令22mt−=，则0t且222mt=−，所以234(3)124PABStttt=−=−，令3()124(0)gtttt=−，则2()121212(1)(1)gtttt=−=−+，当01t，()0gt，当1t时，()0gt，故3()124(1)8gtttg=−=，即PAB面积的最大值为8．………………………12分第5页共7页21．（1）解：21ln')0,xfxxex−===（当')00,()0)fxxefxe（时，在（，上单调递增，当')0,(),)fxxefxe+（时，在（上单调递减．1)()fxfeae==−极大值（……3分，1)0fxae（有且只有两个零点，，00()0xxfx→又且时，0()0xafx→+=时，若时，不符合题意，0lim()0xafxa→+=−若时,不符合，0lim()0xafxa→+=−若时,满足，综上，若使()fx有且只有两个零点，10ae……………………4分（2）证法一：lnln)0ln,ln