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当前位置:首页 > 临时分类 > 河南省2020届高三数学尖子生11月诊断性检测试题 理(PDF)
第1页共4页第2页共4页理科数学试卷本试卷共150分,考试时间120分钟。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U=−1,1,3,5,7,9,A={1,5},B=−1,5,7,则CU(AB)=A.3,9B.1,5,7C.−1,1,3,9D.−1,1,3,7,92.已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n平行、相交、异面均有可能3.复数z满足z−1=z+3,则zA.恒等于1B.最大值为1,无最小值C.最小值为1,无最大值D.无最大值,也无最小值4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积(单位:cm2)是A.16B.32C.44D.645.已知x+y0,则“2|x|+x22|y|+y2”是“x0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数lncos(2)yx2x=−的图像可能是ABCD7.已知两个不相等的非零向量b,a,满足1=a,且a与ab−的夹角为60,则b的取值范围是A.230,B.1,23C.+,23D.()+,18.已知随机变量的分布列为:xyPyx则下列说法正确的是A.存在x,y()1,0,1()2EB.对任意x,y()1,0,1()4EC.对任意x,y()1,0,()()DED.存在x,y()1,0,1()4D9.设函数()dcxbxaxxf+++=23(),,,0abcdaR且,若()()()14433220==fff,则()()51ff+的取值范围是A.()10,B.()21,C.()3,2D.()4,310.已知21,FF分别为双曲线()0012222=−,babyax的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点2F到直线1PF的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是A.251,B.+,25C.()51,D.()+,511.如图,在菱形ABCD中,60ABC=,E,F分别是边AB,CD的中点,现将ΔABC沿着对角线AC翻折,则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为A.2B.321C.33D.22(第11题图)第3页共4页第4页共4页12.已知数列na满足11=a,11ln1++=+nnnaaa,记nnaaaS+++=21,t表示不超过t的最大整数,则2019S的值为A.2019B.2018C.4038D.4037二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在2,2−上随机地取一个实数k,则事件“直线kxy=与圆()9522=+−yx相交”发生的概率为.14.如图,在ABC中,ACAB,32=BC,=60A,ABC的面积等于32,则角平分线AD的长等于.15.已知数列na满足naann2151−=++,其前n项和为nS,若nS8S恒成立,则1a的取值范围为.16.已知P为椭圆C:22+143xy=上一个动点,1F、2F是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若12247PFPF=,则d=.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17.(12分)已知函数xxxfcos3sin)(−=(1)求函数()fx的单调递增区间;(2)在ABC中,角,,ABC所对的边分别是a,b,c,若()3fB=,3b=,求ABC面积的最大值.18.(12分)如图,已知四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,BC=2AD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD,E为PB的中点.(1)求证:AE//平面PDC;(2)若BC=CD=PD,求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.19.(12分)已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲,乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(2)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望.20.(12分)如图,斜率为k的直线l与抛物线24yx=交于A、B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB、x轴于M、P,已知()4,0P.(1)求M点的横坐标;(2)求PAB△面积的最大值.21.(12分)已知函数xaxxxf−=ln)(,Ra.(1)若函数)(xf有且只有两个零点,求实数a的取值范围;(2)设函数)(xf的两个零点为21,xx,且21xx,求证exx221+.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为4cos2sinxy==(为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为4,3,直线l的极坐标方程为2sin96−=.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;(2)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,直线l上有两点A,B,始终满足AB4=,求MAB△面积的最大值与最小值.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知cba,,为正实数,且满足3=++cba.证明:(1)3++acbcab;(2)3222++accbba.(第14题图)l第1页共7页理科数学答案一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.123456789101112ADCBADDCABDD二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.3814.43315.(,7]−16.142三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17.解:()sin3cos2sin()3fxxxx=−=−………………………………2分(1)令22232kxk−−+(kZ)得52266kxk−+(kZ)故函数()fx的单调递增区间为52,266kk−+(kZ)…………………5分(2)由()3fB=,得3sin()32B−=,323+=−kB或,3223+=−kB∴222,3BkBkkZ=+=+或,第2页共7页32=BB是三角形的内角,.………………………………7分∵Baccabcos2222−+=∴922=++acca∴92+acac,即3ac………………………………9分∴133sin24ABCSacB=.………………………………11分当且仅当3ac==时,ABC面积的最大值是334.……………………………12分18.(1)取PC的中点F,连接DF,EF,∵E是PB的中点,∴EF//BC,且BC=2EF,又AD//BC,BC=2AD∴AD//EF且AD=EF,………………………………2分∴四边形ADFE是平行四边形,∴AE//DF,又DF⊂平面PDC,AEPCD平面,………………………………4分∴AE//平面PDC.………………………………5分(2)若PD=DC,则△PDC是等腰三角形,∴DF⊥PC,又AE//DF,∴AE⊥PC∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC,又BC⊥CD,CDPDD=∴BC⊥平面PDC,………………………………7分∵DF⊂平面PDC∴BC⊥DF∴BC⊥AE又AE⊥PC,PCBCC=∴AE⊥平面PBC,………………………………9分连接EC,AC,则∠ACE就是直线AC与平面PBC所成的角.………………………10分设PD=CD=BC=2,EBAPCDF第3页共7页在Rt△PCB中,求得PC=22,PB=23,EC=3,在Rt△ADC中,求得AC=5,∴在Rt△AEC中,3155cs5oECECAAC===.………………………………12分19.(1)设事件iA为“甲盒中取出i个红球”,事件jB为“乙盒中取出j个红球”则()()2223332256,iijjijCCCCPAPBCC−−==设事件C为“4个球中恰有1个红球”()()()021111022333233301102222565639633C1015101510CCCCCCCCPPABPABCCCC=+=+=+=…………………………………3分(2)可取的值为0,1,2,34,()()02022333002256CCCC30B=CC50PPA===……5分()()31C10PP===()()()()022011112002233323332333021120222222565656112++25CCCCCCCCCCCCPPABPABPABCCCCCC==+=+=………………………………7分()()()112020112333233312212222565693++50CCCCCCCCPPABPABCCCC====…………………9分()()20202333222256CCCC14B=CC50PPA===………………………………10分的分布列为:01234P350310112595050133119190123+450102550505E=+++=………………………………12分第4页共7页20.(1)设112200(,),(,),(,)AxyBxyMxy,则121200,22xxyyxy++==,……1分∴121212042yykxxyyy−===−+,………………………………3分而004MPykx=−,………………………………4分由1MPkk=−得042x−=−,即02x=.………………………………5分(2)设直线0:()2ABxmyy=−+即0:2ABxmymy=−+,与抛物线24yx=联立得204480ymymy−+−=,220164(48)0,2mmym=−−△则121204,48yymyymy+==−,………………………………7分所以222120||1||1161632ABmyymmmy=+−=+−+,而P到直线AB的距离为02|+2|1mydm=+,所以2001||2|2|22PABSdABmymmy==+−+………………………………9分又由于012ymk==,所以22222(22)24(1)2PABSmmmm=+−=+−(22m),…………………10分令22mt−=,则0t且222mt=−,所以234(3)124PABStttt=−=−,令3()124(0)gtttt=−,则2()121212(1)(1)gtttt=−=−+,当01t,()0gt,当1t时,()0gt,故3()124(1)8gtttg=−=,即PAB面积的最大值为8.………………………12分第5页共7页21.(1)解:21ln')0,xfxxex−===(当')00,()0)fxxefxe(时,在(,上单调递增,当')0,(),)fxxefxe+(时,在(上单调递减.1)()fxfeae==−极大值(……3分,1)0fxae(有且只有两个零点,,00()0xxfx→又且时,0()0xafx→+=时,若时,不符合题意,0lim()0xafxa→+=−若时,不符合,0lim()0xafxa→+=−若时,满足,综上,若使()fx有且只有两个零点,10ae……………………4分(2)证法一:lnln)0ln,ln
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