2018年八年级数学上册 暑期同步提高课程 第九讲 轴对称综合初步讲义（pdf） 新人教版

暑期同步提高课程53第九讲轴对称综合初步教学目标：1.掌握平面直角坐标系中，等腰三角形个数的确定2.掌握等腰三角形的分割方法。3.掌握轴对称：翻折问题（折叠问题）4.掌握轴对称：最短路径问题重点难点：1.等腰三角形个数的确定与分割方法2.特殊直角三角形在翻折问题中的应用3.轴对称：最短路径问题的应用知识导航：轴对称是关于某一直线对称的图形，要注意图形中隐藏的条件，要将分散的条件集中起来达到解题的目的。本讲的学习要特别注意分类讨论思想及转化思想的运用。考点/易错点1在平面直角坐标系中，若已知A、B两点的坐标（或位置）要求第三个点C，使得A、B、C三点构成等腰三角形的方法如下：①连接AB，以点A（或点B）为圆心，线段AB的长度为半径作圆，圆周上除点B（或点A）的所有的点，都可以与点A、点B构成等腰三角形。②连接AB，作线段AB的垂直平分线l，该垂直平分线l上除该线与线段AB交点外的所有的点都能与点A、点B构成等腰三角形。考点/易错点2如何把一个三角形分成两个等腰三角形：分三种情况：（1）直角三角形：只要把直角分成一个与原来三角形中最短边的一个大锐角即可，例如如何把一个直角三角形分成两个等腰三角形，角A=90°，∠B=67.5°，（三种方法）①做∠BAE=∠B,交BC于E；②连接点A到BC中点；③做AB垂直平分线交BC于E.（2）锐角三角形：其中一个角是另一个角的2倍，比如，36°,72°,72°。暑期同步提高课程54（3）钝角三角形：可行三角形为其中一个角是另一个角度数的3倍，比如10°，30°，140°或20°，60°，100°或40°，120°，20°亦可。做两个成倍角所夹边的垂直平分线，与三角形其中一边有一个交点，连接这个点与所在边的对角顶点，即可将三角形分成两个等边三角形。解题关键就是：将一个三角形分成两个三角形，必是将原三角形的一个角分成两个角，也就是说，分割线必过一个角的顶点，交对边与一点，这样就将对边也分成了两个角。根据等腰三角形条件和三角恒等式设未知数，假设两种情况并作等量代换，即可得出四个等式（二元一次方程），排除两个不合理的等式（得出两角之和等于90°，为直角三角形，不符合条件）。将初始条件（三角形内角和为180°）与两个等式分别形成方程组，即可得出两个未知数（角度）的关系。考点/易错点3等腰直角三角形三边比例为1：1：2，含30°的直角三角形三边比例为1：3：2。考点/易错点4路径最短问题基本图形．．．．辅助线作法：图形及问题作法及图形原理在l上找一点P，使PA+PB最小连接AB，AB与l的交点为点PPA+PB最小值为AB（两点之间，线段最短）在直线l上求一点P，使AP+BP最小作A关于l的对称点A’，连接A’B，与l的交点为P点AP+BP=A’P+BP=A’B（两点之间，线段最短）lABlPABlABlPA'AB暑期同步提高课程55在∠AOB内有一点P，在射线OA、OB上求作C、D两点，使△PCD周长最小分别作点P关于射线OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，与两射线的交点即为C、D点PC+PD+CD=P1C+P2D+CD=P1P2，（两点之间，线段最短）典型例题：【例1】已知点A（2，﹣2），在y轴上找一点P，使△AOP是等腰三角形，这样的点P共有几个？（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【解析】①作OA的垂直平分线，交y坐标轴于1个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交y坐标轴于2个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交y坐标轴于1个点．如图，显然这样的点有4个．【例2】在△ABC中∠B=20°，∠A=110°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，顶角是．【答案】110°或50°或80．【解析】①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=110°，②∵∠B=20°，∠A=110°，∴∠C=180°﹣20°﹣110°=50°，如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠C=50°，③如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°﹣2∠C=180°﹣2×50°=80°，综上所述，顶角为110°或50°或80°．OBAPDCP2P1OBAP暑期同步提高课程56【例3】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D、要使点D恰为AB的中点，问在图中还要添加什么条件？（1）写出两条边满足的条件：；（2）写出两个角满足的条件：；（3）写出一个除边、角以外的其他满足条件：．【答案】（1）①12AB=BC。（2）①∠ABC=2∠A．（3）△BEC≌△AED。【解析】（1）①12AB=BC。证明：由轴对称的性质可得：BC=BD，又因为BC=12AB=BD∴可得D在AB的中点位置．（2）①∠ABC=2∠A．∵∠C=90°，∴∠ABC+∠A=90°．∵∠ABC=2∠A，∴∠A=30°．由轴对称的性质得：BC=BD，CE=DE，∠CBE=∠DBE=∠A=30°．∴△ADE≌△BCE，AD=BC=BD．即点D在AB的中点；（3）△BEC≌△AED。∵△BEC≌△AED，∴AD=DB，则点D在AB的中点．【例4】如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？【答案】如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，所以ED=ED′，C，D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的．【解析】可过点D作关于AB的对称点D′，连接CD′与AB交于点E，即为所求．课堂检测：1.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个暑期同步提高课程572.如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．△EBD是等腰三角形，EB=EDB．△EBA和△EDC一定是全等三角形C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等3.矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．15B．20C．25D．304.在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）A．B．C．D．5.按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）如图，已知直线l和其外两点A，B．（1）试在图甲的直线l上找点C，使AC+BC的值最小；（2）试在图乙的直线l上找点D，使|AD﹣BD|的值最小．课后作业：1.如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有（）A．4个B．6个C．7个D．9个2.如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（）A．B．C．D．暑期同步提高课程583.点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，△PMN周长为（）A．4B．5C．6D．74.如图，将两张对边平行且宽度相等的纸条交叉叠放在一起，若∠DAB=60°，AD=2，则重合部分的面积为（）A．2B．32C．3D．235.如图A所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图B所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．34cm2B．36cm2C．38cm2D．40cm26.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E7.点M是四边形ABCD的边BC的中点，∠AMD=120°．求证：AB+12BC+CD≥AD．