（天津专用）2020届高考物理一轮复习 专题五 万有引力与航天教师用书（PDF，含解析）

３６　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）专题五万有引力与航天对应学生用书起始页码Ｐ５２考点一万有引力定律及其应用　　一、引力和重力的关系如图所示，Ｆ引产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于Ｆ向＝ｍω２ｒ，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。但Ｆ向一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即ＧＭｍＲ２＝ｍｇ，ｇ＝ＧＭＲ２常用来计算星球表面的重力加速度。在地球同一纬度处，重力加速度随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即ｇ′＝ＧＭ（Ｒ＋ｈ）２。　　假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为ｇ０，在赤道的大小为ｇ；地球自转的周期为Ｔ，引力常量为Ｇ。地球的密度为（　　）Ａ．３πＧＴ２ｇ０－ｇｇ０Ｂ．３πＧＴ２ｇ０ｇ０－ｇＣ．３πＧＴ２Ｄ．３πＧＴ２ｇ０ｇ解题思路　（１）两极处的重力加速度ｇ０满足ｍｇ０＝ＧＭｍＲ２。（２）赤道处的重力加速度ｇ满足ｍｇ＝ＧＭｍＲ２－ｍ４π２Ｔ２Ｒ。解析　在地球两极处，ＧＭｍＲ２＝ｍｇ０，在赤道处，ＧＭｍＲ２－ｍｇ＝ｍ４π２Ｔ２Ｒ，故Ｒ＝（ｇ０－ｇ）Ｔ２４π２，则ρ＝Ｍ４３πＲ３＝Ｒ２ｇ０Ｇ４３πＲ３＝３ｇ０４πＲＧ＝３πＧＴ２ｇ０ｇ０－ｇ，Ｂ正确。答案　Ｂ　　二、应用万有引力定律解决天体运动问题１．解决天体运动问题的两条基本思路（１）天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即Ｆ引＝Ｆ向，一般有以下表达形式：ＧＭｍｒ２＝ｍｖ２ｒ＝ｍω２ｒ＝ｍ４π２Ｔ２ｒ＝ｍａ（２）在地面附近万有引力近似等于物体的重力，Ｆ引＝ｍｇ，即ＧＭｍＲ２＝ｍｇ，整理得ＧＭ＝ｇＲ２（黄金代换式）。　　万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，利用它我们可以进行许多分析和预测。２０１６年３月８日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学家称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的５倍。下列说法正确的是（　　）Ａ．木星运行的加速度比地球的大Ｂ．木星运行的周期比地球的小Ｃ．下一次的“木星冲日”时间肯定在２０１７年Ｄ．下一次的“木星冲日”时间肯定在２０１８年解题思路　１．太阳对地球或火星的万有引力是其运动的向心力。２．地球相对火星运动得快，故再次出现“火星冲日”现象的条件是两者绕太阳转过的角度之差为３６０°。解析　设太阳质量为Ｍ，行星质量为ｍ，轨道半径为ｒ，周期为Ｔ，加速度为ａ。对行星由牛顿第二定律可得：ＧＭｍｒ２＝ｍａ＝ｍ４π２ｒＴ２，解得：ａ＝ＧＭｒ２，Ｔ＝２πｒ３ＧＭ。ｒ木日≈５ｒ地日，则木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，Ａ、Ｂ错误。地球公转周期Ｔ１＝１年，木星公转周期Ｔ２＝１２５Ｔ１≈１１．１８年。设经时间ｔ，再次出现木星冲日，则ω１ｔ－ω２ｔ＝２π，其中ω１＝２πＴ１，ω２＝２πＴ２，解得，ｔ≈１．１年，因此下一次“木星冲日”发生在２０１７年，Ｃ正确，Ｄ错误。答案　Ｃ２．天体质量和密度的计算方法（１）利用天体表面的重力加速度ｇ和天体半径Ｒ进行计算。由于ＧＭｍＲ２＝ｍｇ，故天体质量Ｍ＝ｇＲ２Ｇ，天体密度ρ＝ＭＶ＝Ｍ４３πＲ３＝３ｇ４πＧＲ。（２）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期Ｔ和轨道半径ｒ进行计算。①由万有引力等于向心力，即ＧＭｍｒ２＝ｍ４π２Ｔ２ｒ，得出中心天体质量Ｍ＝４π２ｒ３ＧＴ２；②若已知天体的半径Ｒ，则天体的密度ρ＝ＭＶ＝Ｍ４３πＲ３＝３πｒ３ＧＴ２Ｒ３；􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋五　万有引力与航天３７　　　③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径ｒ等于天体半径Ｒ，则天体密度ρ＝３πＧＴ２。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期Ｔ，就可估算出中心天体的密度。　　已知引力常量为Ｇ，根据下列数据可以计算出地球质量的是（　　）Ａ．地球表面的重力加速度和地球半径Ｂ．月球自转的周期和月球的半径Ｃ．卫星距离地面的高度和其运行的周期Ｄ．地球公转的周期和日地之间的距离解题思路　计算地球质量可用公转法（即利用绕地球公转的卫星的周期和公转半径）和重力加速度法（在地球表面上随地球自转物体的加速度等于重力加速度）两条途径。解析　在地球表面，可认为重力等于万有引力，ｍｇ＝ＧＭｍＲ２地，所以Ｍ＝ｇＲ２地Ｇ，Ａ选项正确。由Ｂ选项中条件无法计算出地球质量，Ｂ选项错误。ＧＭｍ（Ｒ地＋ｈ）２＝４π２ｍ（Ｒ地＋ｈ）Ｔ２，已知卫星距离地面的高度和其运行的周期，而地球半径Ｒ地未知，无法计算出地球质量，Ｃ选项错误。利用ＧＭｍｒ２＝４π２ｍｒＴ２和Ｄ选项中的条件可以计算出太阳的质量，但无法计算出地球的质量，Ｄ选项错误。答案　Ａ１．关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（　　）Ａ．卡文迪许仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系Ｂ．“月地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的６０倍Ｃ．“月地检验”表明地面上物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律Ｄ．引力常量Ｇ的大小是牛顿根据大量实验数据得出的１．答案　Ｃ　万有引力定律是牛顿根据开普勒定律、牛顿运动定律推导的；引力常量是卡文迪许第一次从实验室中测出的，Ａ、Ｄ错误。“月地检验”是检验月球绕地球运行过程中所受地球的引力与地面上物体所受地球的引力是否遵从相同的规律，Ｂ错误，Ｃ正确。２．关于静止在地球表面（两极除外）随地球自转的物体，下列说法正确的是（　　）Ａ．物体所受重力等于地球对它的万有引力Ｂ．物体的加速度方向可能不指向地球中心Ｃ．物体所受合外力等于地球对它的万有引力Ｄ．物体在地球表面不同处角速度可能不同４．答案　Ｂ　在地球表面（两极除外）随地球自转的物体，受到的重力是万有引力的一个分力，Ａ项错误；由圆周运动知识知物体受到的合外力指向轨道中心，即加速度方向指向轨道中心，不一定指向地球中心，Ｂ项正确；物体所受合外力为万有引力与支持力的合力，故Ｃ项错误；地球自转时，其表面不同处的角速度是相等的，Ｄ项错误。３．天体演变的过程中，红巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星，中子星具有极高的密度。若已知某中子星的半径为Ｒ，密度为ρ，引力常量为Ｇ。则（　　）Ａ．该中子星的卫星绕它做匀速圆周运动的最小周期为３πＲＧρＢ．该中子星的卫星绕它做匀速圆周运动的最大加速度为４πＧρＲ３Ｃ．该中子星的卫星绕它做匀速圆周运动的最大角速度为４πＲρ３Ｄ．该中子星的卫星绕它做匀速圆周运动的最大线速度为４πＲρ３３．答案　Ｂ　中子星的卫星绕中子星运动时，由“高轨低速大周期”可知，当卫星轨道半径等于中子星半径Ｒ时有最小周期、最大加速度、最大线速度和最大角速度。由ＧＭｍＲ２＝ｍａ得最大加速度ａ＝ＧＭＲ２＝Ｇ·ρ·４３πＲ３Ｒ２＝４πＧρＲ３，Ｂ项正确。由ａ＝ω２Ｒ＝４π２Ｔ２Ｒ，得最小周期Ｔ＝２πＲａ＝３πＧρ，最大角速度ω＝ａＲ＝４πＧρ３，Ａ、Ｃ错误。最大线速度ｖ＝ωＲ＝４πＧρＲ２３，Ｄ错误。解题关键　卫星轨道半径越小，周期越小，而线速度、角速度、加速度都越大，因此当轨道半径约等于中心天体半径时，卫星有最小周期、最大加速度、最大角速度和最大线速度。由万有引力提供向心力可以得出各物理量。４．牛顿思考月球绕地球运行的原因时，苹果偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力，是否都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律———平方反比规律？因此，牛顿开始了著名的“月地检验”。（１）已知月球与地球的距离约为地球半径的６０倍，如果牛顿的猜想正确，请你据此计算月球公转的向心加速度ａ和苹果下落的加速度ｇ的比值ａｇ；（２）在牛顿的时代，月球与地球间的距离ｒ、月球绕地球公转的周期Ｔ等都能比较精确地测定，请你据此写出计算月球公转的向心加速度ａ的表达式；已知ｒ≈３．８４×１０８ｍ，Ｔ≈２．３６×１０６ｓ，地面附近的重力加速度ｇ＝９．８０ｍ／ｓ２，请你根据这些数据估算比值ａｇ；与（１）中的结果相比较，你能得出什么结论？（３）物理学不断诠释着自然界的大统与简约。换一个角度再来看，苹果下落过程中重力做功，重力势能减少。试列举另外两种不同类型的势能，并说出这些势能统一具有的特点（至少说出两点）。４．答案　（１）１３６００　（２）（３）见解析解析　（１）设月球质量为ｍ月，地球质量为Ｍ，根据牛顿第二定律有：ＧＭｍ月ｒ２＝ｍ月ａ①设苹果的质量为ｍ，地球半径为Ｒ，根据牛顿第二定律有：ＧＭｍＲ２＝ｍｇ②由题意知：ｒ＝６０Ｒ③联立①②③式可得：ａｇ＝１３６００􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋３８　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）（２）由向心加速度的表达式得ａ＝ｖ２ｒ④其中：ｖ＝２πｒＴ⑤联立④⑤式可得：ａ＝４π２Ｔ２ｒ代入相关数据可得：ａｇ≈１３６０４比较（１）中的结果，二者近似相等，由此可以得出结论：牛顿的猜想是正确的，即地球对月球的引力，地面上物体的重力，都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律———平方反比规律。（３）弹性势能、电势能这些势能都不是物体单独所有，而是相互作用的系统所共有；这些势能的大小都与相互作用的物体间的相对位置有关；这些势能的变化量均由对应的力所做的功来量度。考点二人造卫星　宇宙航行　　一、环绕地球卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系１．做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供卫星所需向心力，即Ｆ引＝Ｆ向。ＧＭｍｒ２＝ｍｖ２ｒ⇒ｖ＝ＧＭｒ⇒ｍｒω２⇒ω＝ＧＭｒ３⇒ｍ４π２Ｔ２ｒ⇒Ｔ＝４π２ｒ３ＧＭ⇒ｍａｎ⇒ａｎ＝ＧＭｒ２⇒ìîíïïïïïïïïïïüþýïïïïïïïïïï当ｒ增大时⇒ｖ减小⇒ω减小⇒Ｔ增大⇒ａｎ减小üþýïïïï（高轨低速长周期）　　一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的１４，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（　　）Ａ．向心加速度大小之比为４∶１Ｂ．角速度之比为２∶１Ｃ．周期之比为１∶８Ｄ．轨道半径之比为１∶２解题思路　对绕地飞行的卫星来说，高度决定着飞行的各个参数，判断时必须抓住这一特点。解析　根据Ｅｋ＝１２ｍｖ２得ｖ＝２Ｅｋｍ，所以卫星变轨前、后的速度大小之比为ｖ１ｖ２＝２１。根据ＧＭｍｒ２＝ｍｖ２ｒ，得卫星变轨前、后的轨道半径之比为ｒ１ｒ２＝ｖ２２ｖ２１＝１４，选项Ｄ错误；根据ＧＭｍｒ２＝ｍａ，得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为ａ１ａ２＝ｒ２２ｒ２１＝１６１，选项Ａ错误；根据ＧＭｍｒ２＝ｍω２ｒ，得卫星变轨前、后的角速度之比为ω１ω２＝ｒ３２ｒ３１＝８１，选项Ｂ错误；根据Ｔ＝２πω，得卫星变轨前、后的周期之比为Ｔ１Ｔ２＝ω２ω１＝１８，选项Ｃ正确。答案　Ｃ２．地球同步卫星的五个“一定”周期一定与地球自转周期相同，即Ｔ＝２４ｈ→角速度一定↓与地球自转的角速度相同→高度一定↓由ＧＭｍ（Ｒ＋ｈ）２＝ｍ４π２Ｔ２（Ｒ＋ｈ）得同步卫星离地面的高度ｈ＝３ＧＭＴ２４π２－Ｒ→速率一定↓ｖ＝ＧＭＲ＋ｈ→轨道平面一定↓轨道平面与赤道平面共面→　　２０１５年１２月２９日０时０４分，我国在西昌卫星发射中心成功发射高分四号卫星。至此我国航天发射“十二五”任务圆满收官。高分四号卫星是我国首颗地球同步轨道高分辨率光学成像卫星，也是目前世界上空间分辨率最高、幅宽最大的地球同步轨道卫星，它的发射和应用将显著提升我国对地遥感观测能力，该卫星在轨道正常运行时，下列说法正确的是（　　）Ａ．卫星的轨道半径可以近似等于地球半径Ｂ．卫星的向心加速度一定小于地球表面的重力加速度Ｃ．卫星的线速度一定大于第一宇宙速度Ｄ．卫星