（山东专版）2019版中考数学总复习 第七章 统计与概率 7.2 概率（讲解部分）检测（pdf）

６４　　　５年中考３年模拟§７．２　概　率１９１考点清单考点一　事件的分类　　①　必然事件　和②　不可能事件　统称确定事件，在一定条件下，事先无法肯定会不会发生的事件叫做③　不确定事件　（或随机事件），在一定条件下，事先能肯定一定会发生的事件叫做④　必然事件　，在一定条件下，事先能肯定一定不会发生的事件叫做不可能事件．考点二　概率　　１．一般地，如果在一次试验中，有ｎ种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件Ａ包含其中的ｍ种结果，那么事件Ａ发生的概率为Ｐ（Ａ）＝⑤　ｍｎ　．特别地，当Ａ为必然事件时，Ｐ（Ａ）＝１；当Ａ为不可能事件时，Ｐ（Ａ）＝０．事件发生的可能性越大，它的概率越接近１；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近０（如图）．２．求概率的常用方法：（１）利用概率的定义直接求概率；（２）用画树状图法和⑥　列表法　求概率；（３）用试验的方法估计一些随机事件发生的概率．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋概率论的起源说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家．一个叫做帕斯卡，一个叫做费马．帕斯卡是１７世纪有名的“神童”数学家，费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他们有关．帕斯卡认识的朋友中有两个是赌徒．１６５１年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题．这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满５局，谁就获得全部赌金．赌了半天，ａ赢了４局，ｂ赢了３局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了．那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成７份，赢了４局的就拿４份，赢了３局的就拿３份呢？或者，因为最早说的是满５局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对．正确的答案是：赢了４局的拿这个钱的３４，赢了３局的拿这个钱的１４．为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者ａ赢，或者ｂ赢．若是ａ赢满了５局，钱应该全归他；ａ如果输了，即ａ、ｂ各赢４局，这个钱应该对半分．现在，ａ赢、输的可能性都是１２，所以，他拿的钱应该是１２×１＋１２×１２＝３４，当然，ｂ就应该得１４．这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到１６５４年才算有了点眉目．于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见．通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念———数学期望．数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用ａ赢输的概率１２去乘他可能得到的钱，再把它们加起来．概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１９２方法一　判断游戏的公平性　　判断游戏是否公平是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平．例１　（２０１８青岛，１７，６分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是在三张完全相同的卡片上分别标记４、５、６三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．解析　不公平．列表表示所有可能的结果：　　　第一张第二张　　　４５６４８９１０５９１０１１６１０１１１２　　由上表可知，共有９种等可能的结果，其中和为偶数的有５种结果，和为奇数的有４种结果，设事件Ａ为“参加敬老服务活动”，事件Ｂ为“参加文明礼仪宣传活动”，∴Ｐ（Ａ）＝５９，Ｐ（Ｂ）＝４９．∵５９＞４９，∴这个游戏不公平．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第七章　统计与概率６５　　　思路分析　先列表或画树状图表示所有可能的结果，进而求得和为奇数的概率与和为偶数的概率，再比较概率的大小，即可判断游戏是否公平．　　变式训练　（２０１６江苏泰州，１９，８分）一只不透明的袋子中装有３个球，球上分别标有数字０，１，２．这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球．两人摸出的球所标的数字之和为偶数时甲胜，和为奇数时乙胜．（１）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；（２）这样的游戏规则是否公平？说明理由．解析　（１）画树状图如图：（２）不公平．理由：∵Ｐ（数字之和为偶数）＝２６＝１３，Ｐ（数字之和为奇数）＝４６＝２３，且１３≠２３，∴这样的游戏规则不公平．方法二　概率与函数等知识相结合　　数学问题中的概率常常以函数、方程、不等式以及几何图形为背景，要求试验结果满足一定的条件，着重考查学生综合运用知识的能力．例２　（２０１６广西来宾，２２，８分）已知反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）与一次函数ｙ＝ｘ＋２的图象交于点Ａ（－３，ｍ）．（１）求反比例函数的解析式；（２）如果点Ｍ的横、纵坐标都是不大于３的正整数，求点Ｍ在反比例函数图象上的概率．解析　（１）∵函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）与ｙ＝ｘ＋２的图象交于点Ａ（－３，ｍ），∴ｍ＝－３＋２，ｍ＝ｋ－３，{解得ｍ＝－１，ｋ＝３，{∴反比例函数的解析式为ｙ＝３ｘ．（２）设点Ｍ的横坐标为ａ，纵坐标为ｂ．∵点Ｍ的横、纵坐标都是不大于３的正整数，∴点Ｍ的横坐标ａ、纵坐标ｂ的可能取值分别是１，２，３．列表如下：　　ｂａ　　１２３１（１，１）（１，２）（１，３）２（２，１）（２，２）（２，３）３（３，１）（３，２）（３，３）　　∴共有９种等可能的结果．其中在反比例函数ｙ＝３ｘ图象上的点有（１，３），（３，１）这两个，∴Ｐ（点Ｍ在反比例函数图象上）＝２９．　　变式训练　（２０１７湖南郴州，１５，３分）从１，－１，０三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是　　　　　．答案　２３解析　画树状图如下：由树状图可知，所有等可能的情况有６种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有４种，所以该点在坐标轴上的概率为４６＝２３．方法三　用频率估计概率　　通过多次反复试验，随机事件发生的频率逐渐稳定在某一个常数附近，我们就把这个常数看作这个随机事件的概率．例３　（２０１７甘肃兰州，７，４分）一个不透明的盒子里有ｎ个除颜色外其他完全相同的小球，其中有９个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在３０％，那么估计盒子中小球的个数ｎ为（　　）　　Ａ．２０Ｂ．２４Ｃ．２８Ｄ．３０解析　由频率估计概率，知摸到黄球的概率为３０％，由题意可知９ｎ×１００％＝３０％，解得ｎ＝３０，故选Ｄ．答案　Ｄ　思路分析　根据摸到黄球的频率稳定值及黄球个数，估计盒子里小球的个数．易错警示　此类问题容易出错的地方是不知道概率与频率之间的关系．　　变式训练　（２０１７湖南益阳，１２，５分）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为１２人，频率为０．２５，那么被调查的学生人数为　　　．答案　４８解析　∵“古诗词类”的频数为１２人，频率为０．２５，∴被调查的学生总人数为１２÷０．２５＝４８．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋