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第二章 方程(组)与不等式(组)9 §2.2 分式方程27考点清单考点一 分式方程及其解法 1.① 分母 中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的基本思路:分式方程去分母 →② 整式方程 .3.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此应进行如下检验:将整式方程的解代入③ 最简公分母 ,若最简公分母的值不为零,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,是增根.4.去分母解分式方程的一般步骤:(1)适当变形,通常是对分母分解因式,找到最简公分母;(2)将方程两边同乘最简公分母,约去分母,得到一个整式方程;(3)解这个整式方程;(4)验根.考点二 分式方程的应用 1.常见题型有行程问题和工程问题.2.用分式方程解应用题时,检验分为两步,先检验所求根是不是④ 原方程 的根,再检验方程的根是否符合⑤ 题意 ,缺一不可.28方法一 解分式方程 1.解分式方程的基本思路:分式方程转化 →整式方程.2.解分式方程的一般步骤:第一步:用方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边,去掉方程的分母;第二步:解这个整式方程,求出这个整式方程的根;第三步:将整式方程的根代入最简公分母(或原方程)进行检验,并作出结论.例1 (2018江苏连云港,18,6分)解方程:3x-1-2x=0.解析 去分母,得3x-2(x-1)=0,解得x=-2.经检验,x=-2是原方程的解,所以原方程的解是x=-2.思路分析 先找出最简公分母x(x-1),方程左右两边同乘最简公分母,化为整式方程,再解整式方程,最后一定要注意检验.易错警示 解分式方程最容易出现的错误是忘记检验. 变式训练 (2018江苏镇江,19(1),5分)解方程:xx+2=2x-1+1. 解析 去分母,得x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1),整理,得4x+2=0,解得x=-12.检验:当x=-12时,(x+2)(x-1)≠0,∴x=-12是原分式方程的解.方法二 关于分式方程无解问题的分析 分式方程无解的条件有两种:(1)分式方程化成的整式方程无解,则分式方程也无解;(2)化成的整式方程的解使原分式方程的分母为0,这个解是该分式方程的增根,则分式方程无解.例2 (2015东营,16,4分)若分式方程x-ax+1=a无解,则a的值为 .解析 去分母,得x-a=a(x+1),整理,得(a-1)x=-2a.当a=1时,0·x=-2,该方程无解;当a≠1时,x=-2aa-1,若x=-1,则原分式方程无解,此时-1=-2aa-1,解得a=-1.综上可知,当a=±1时原分式方程无解.答案 ±1思路分析 先通过去分母把分式方程转化成整式方程,然后通过解整式方程与分式方程产生增根两种情形进行讨论求解.方法规律 (1)解分式方程的基本思想是转化思想,即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解.(2)分式方程有增根与无解并不等同:①增根是由于在分式方程转化为整式方程的变化过程中,未知数允许值范围的扩大而导致产生的,它可以通过“检验”来找出;②无解是由于原分式方程本身就是矛盾方程造成的,即无论未知数取何实数,等式都不能成立;③方程有增根不一定无解,但如果解出的所有根都是增根,这时原分式方程就一定无解了. 变式训练 若关于x的方程x-1x-5=m10-2x无解,则m= .答案 -8解析 原方程可化为x-1x-5=m-2(x-5),去分母得-2(x-1)=m(※),∵原方程无解,∴x=5是原方程的增根,将x=5代入(※)得m=-8.方法三 利用分式方程解应用题 在列方程之前,应先弄清问题中的已知量与未知量,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,再用题中的10 5年中考3年模拟主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是不是所列分式方程的解,又要检验是否符合题意.例3 (2017云南,18,6分)某商店用1000元人民币购进水果销售,过了一段时间,又用2400元人民币购进这种水果,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每千克的价格比第一次购进的贵了2元.(1)该商店第一次购进水果多少千克?(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售,最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售.若两次购进水果全部售完,利润不低于950元,则每千克水果的标价至少是多少元?注:每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差,两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和.解析 (1)设该商店第一次购进水果x千克,则第二次购进水果2x千克,由题意得1000x+2=24002x,去分母,得2000+4x=2400,解得x=100.经检验,x=100是原分式方程的解,且符合题意.答:该商店第一次购进水果100千克.(2)设每千克水果的标价是y元,由题意得(100+200-20)y+20×0.5y≥1000+2400+950,整理得290y≥4350,解得y≥15.答:每千克水果的标价至少是15元.思路分析 (1)第一次购进水果数量×2=第二次购进水果数量,2400÷第二次购进水果数量=1000÷第一次购进水果数量+2,列方程即可;(2)每千克水果的标价×(第一次购进水果数量+第二次购进水果数量-20)+20×0.5×每千克水果的标价≥1000+2400+950,列不等式.解题关键 本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用,读懂题意,找出等量关系或不等关系,列出方程或不等式. 变式训练 (2018东营,21,8分)小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出,他们的家分别距离剧院1200m和2000m,两人分别从家中同时出发,已知小明和小刚的速度比是3∶4,结果小明比小刚提前4min到达剧院,求两人的速度.解析 设小明和小刚的速度分别是3xm/min和4xm/min.根据题意,得12003x+4=20004x,解得x=25.经检验,x=25是原方程的解,则3x=75,4x=100.答:小明和小刚的速度分别是75m/min和100m/min.思路分析 由小明和小刚的速度比是3∶4,直接设小明和小刚的速度分别是3xm/min和4xm/min,再根据两人到达剧院的时间差列出方程.
本文标题:(山东专版)2019版中考数学总复习 第二章 方程(组)与不等式(组)2.2 分式方程(讲解部分)检
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