（全国通用）2019年中考数学复习 第四章 图形的认识 4.1 角、相交线与平行线（讲解部分）检测（

第四章　图形的认识２７　　　第四章　图形的认识§４．１　角、相交线与平行线８４考点一　角　　１．１周角＝①　２　平角＝②　４　直角＝③　３６０°　．２．１°＝６０′，１′＝６０″．３．如果两个角的和等于９０°，那么就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果④　两个角的和等于１８０°　，那么就说这两个角互为补角，⑤　同角或等角　的补角相等．考点二　相交线和平行线　　１．两点确定一条直线，两点之间线段最短，⑥　两点间线段的长度　叫两点间的距离．２．一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角⑦　相等　．３．平面内，过一点有且只有⑧　一条　直线与已知直线垂直．４．直线外一点到这条直线的⑨　垂线段　的长度，叫做点到直线的距离．５．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑩　垂线段　最短．６．过直线外一点，􀃊􀁉􀁓　有且只有一　条直线与这条直线平行．７．平行线的性质：两条直线平行，同位角相等，􀃊􀁉􀁔　内错角　相等，􀃊􀁉􀁕　同旁内角　互补．８．平行线的判定方法（１）同位角相等，两直线平行．（２）内错角􀃊􀁉􀁖　相等　，两直线平行．（３）同旁内角􀃊􀁉􀁗　互补　，两直线平行．（４）平行于同一直线的两条直线在同一平面内平行．（５）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．考点三　角平分线和线段的垂直平分线　　１．角的平分线角的平分线上的点到􀃊􀁉􀁘　角的两边的距离　相等；角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．２．线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到􀃊􀁉􀁙　这条线段两个端点的距离　相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋８４方法一　相交线所成角的个数问题　　例１　如图，在锐角∠ＡＯＢ内部，画１条射线，可得３个锐角；画２条不同的射线，可得６个锐角；画３条不同的射线，可得１０个锐角，……，照此规律，画１０条不同的射线，可得锐角　　个．解析　第（１）个图中有１＋２＝３个锐角；第（２）个图中有１＋２＋３＝６个锐角；第（３）个图中有１＋２＋３＋４＝１０个锐角；……按如图所示的规律画ｎ条不同的射线得到的锐角个数为１＋２＋３＋…＋（ｎ＋１）＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）２，所以画１０条不同的射线，可得锐角６６个．答案　６６　　变式训练１　（１）如图，∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＢＯＣ＝３０°，ＯＭ平分∠ＡＯＣ，ＯＮ平分∠ＢＯＣ，求∠ＭＯＮ的度数；（２）如果（１）中∠ＡＯＢ＝α，其他条件不变，求∠ＭＯＮ的度数；（３）如果（１）中∠ＢＯＣ＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠ＭＯＮ的度数；（４）从（１）（２）（３）的结果能看出什么规律？（５）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（１）～（４），设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律．解析　（１）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ＝１２×１２０°－１２×３０°＝４５°．（２）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２８　　　５年中考３年模拟＝１２（α＋３０°）－１２×３０°＝１２α．（３）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ＝１２（９０°＋β）－１２β＝４５°．（４）∠ＭＯＮ的大小等于∠ＡＯＢ的一半，而与∠ＢＯＣ的大小无关．（５）如图，设线段ＡＢ＝ａ，延长ＡＢ到Ｃ，使ＢＣ＝ｂ，点Ｍ、Ｎ分别为ＡＣ、ＢＣ的中点，求ＭＮ的长．规律：ＭＮ的长度总等于ＡＢ的长度的一半，而与ＢＣ的长度无关．方法二　平行线相关问题　　在平行线中求角的大小以及角与角的关系问题，通常依据平行线的性质或三角形的内角和定理来解决．例２　（２０１７湖北黄冈，３，３分）已知：如图，直线ａ∥ｂ，∠１＝５０°，∠２＝∠３，则∠２的度数为（　　）Ａ．５０°Ｂ．６０°Ｃ．６５°Ｄ．７５°解析　∵ａ∥ｂ，∴∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，又∵∠２＝∠３，∠１＝５０°，∴５０°＋２∠２＝１８０°，∴∠２＝６５°，故选Ｃ．答案　Ｃ　　变式训练２　（２０１７安徽，６，４分）直角三角板和直尺如图放置．若∠１＝２０°，则∠２的度数为（　　）Ａ．６０°Ｂ．５０°Ｃ．４０°Ｄ．３０°答案　Ｃ解析　如图所示，∠４＝∠１＋３０°＝５０°，由平行线的性质可得∠５＝∠４＝５０°，所以∠３＝９０°－∠５＝４０°，所以∠２＝∠３＝４０°．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋