（全国通用）2019年中考数学复习 第六章 空间与图形 6.2 图形的相似（讲解部分）检测（pdf）

第六章　空间与图形４５　　　§６．２　图形的相似１４５考点一　相似与位似的有关概念　　１．比例线段和比例的性质（１）在同一单位长度下，①　两条线段的长度之比　叫做两条线段的比．（２）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段．（３）比例的基本性质：ａｂ＝ｃｄ⇔②　ａｄ＝ｂｃ　（ｂｄ≠０）．２．相似多边形的性质相似多边形对应角相等，对应边成比例．３．如果两个三角形的角对应相等，③　边对应成比例　，那么这两个三角形叫做相似三角形．４．图形的位似如果两个图形相似，并且它们的对应点所在直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形．这一点叫④　位似中心　，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比．考点二　相似三角形的性质与判定　　１．相似三角形的判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似．（１）相似三角形的判定定理１：两角对应相等的两个三角形相似；（２）相似三角形的判定定理２：⑤　两边对应成比例　，且夹角相等的两个三角形相似；（３）相似三角形的判定定理３：三边对应成比例的两个三角形相似；（４）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．２．相似三角形的性质：（１）⑥　对应角相等　；（２）对应边成比例；（３）⑦　周长之比等于相似比　；（４）面积之比等于相似比的平方．　　３．相似三角形的基本类型图①　图②　图③（１）如图①，若ＤＥ∥ＢＣ，则△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ；（２）如图②，若ＥＤ∥ＢＣ，则△ＥＡＤ∽△ＣＡＢ；（３）如图③，若∠ＡＥＤ＝∠Ｂ，则△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１４６方法一　判定三角形相似的几条思路　　（１）条件中若有平行线，则可采用相似三角形的预备定理；（２）条件中若有一对等角，则可再找一对等角（用判定定理１）或再证夹这对等角的两边对应成比例（用判定定理２）；（３）条件中若有两边对应成比例，则可证夹角相等或第三边也对应成比例；（４）条件中若有一对直角，则可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（５）条件中若有等腰关系，则可证顶角相等，可证一对底角相等，也可证底和腰对应成比例．例１　（２０１５山东威海，２３，１０分）（１）如图①，已知∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＣＥ，ＡＥ＝３，∠ＣＡＥ＝４５°，求ＡＤ的长；（２）如图②，已知∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＣＥＤ＝∠ＣＡＥ＝３０°，ＡＣ＝３，ＡＥ＝８，求ＡＤ的长．图①　图②解析　（１）如图ａ，连接ＢＥ．（１分）图ａ∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∴∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ＋∠ＡＣＥ，即∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ．又∵ＡＣ＝ＢＣ，ＤＣ＝ＥＣ，∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，∴ＡＤ＝ＢＥ．（３分）∵ＡＣ＝ＢＣ＝６，∴ＡＢ＝６２．（４分）∵∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＥ＝４５°，∴∠ＢＡＥ＝９０°．在Ｒｔ△ＢＡＥ中，ＡＢ＝６２，ＡＥ＝３，∴ＢＥ＝（６２）２＋３２＝９，∴ＡＤ＝９．（５分）（２）如图ｂ，连接ＢＥ．（６分）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋４６　　　５年中考３年模拟图ｂ在Ｒｔ△ＡＣＢ和Ｒｔ△ＤＣＥ中，∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，∴ｔａｎ３０°＝ＡＣＢＣ＝ＤＣＥＣ＝３３．∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∴∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ，∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＥ．∴ＡＤＢＥ＝ＡＣＢＣ＝３３．（８分）∵∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＣＡＥ＝３０°，∴∠ＢＡＥ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＣ＝３，∠ＡＢＣ＝３０°，∴ＡＢ＝６．在Ｒｔ△ＢＡＥ中，ＡＢ＝６，ＡＥ＝８，∴ＢＥ＝１０．（９分）∵ＡＤＢＥ＝３３，∴ＡＤ＝１０３３．（１０分）方法二　相似三角形的综合应用　　在综合题中，注意相似知识的灵活运用，尤其能通过相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来．并熟练掌握等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力．例２　（２０１８云南昆明，２３，１２分）如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｐ为ＣＤ边上一点（ＤＰ＜ＣＰ），∠ＡＰＢ＝９０°，将△ＡＤＰ沿ＡＰ翻折得到△ＡＤ′Ｐ，ＰＤ′的延长线交边ＡＢ于点Ｍ，过点Ｂ作ＢＮ∥ＭＰ交ＤＣ于点Ｎ．（１）求证：ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ；（２）请判断四边形ＰＭＢＮ的形状，并说明理由；（３）如图２，连接ＡＣ，分别交ＰＭ，ＰＢ于点Ｅ，Ｆ．若ＤＰＡＤ＝１２，求ＥＦＡＥ的值．解析　（１）证明：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°，∴∠ＤＡＰ＋∠ＡＰＤ＝９０°，∵∠ＡＰＢ＝９０°，∴∠ＣＰＢ＋∠ＡＰＤ＝９０°，∴∠ＤＡＰ＝∠ＣＰＢ，（１分）∴△ＡＤＰ∽△ＰＣＢ，∴ＡＤＰＣ＝ＤＰＣＢ，（２分）∴ＡＤ·ＣＢ＝ＤＰ·ＰＣ．∵ＡＤ＝ＢＣ，∴ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ．（３分）（２）四边形ＰＭＢＮ为菱形，理由如下：（４分）在矩形ＡＢＣＤ中，ＣＤ∥ＡＢ，∵ＢＮ∥ＰＭ，∴四边形ＰＭＢＮ为平行四边形，∵△ＡＤＰ沿ＡＰ翻折得到△ＡＤ′Ｐ，∴∠ＡＰＤ＝∠ＡＰＭ，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＡＰＤ＝∠ＰＡＭ，∴∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，（６分）∵∠ＡＰＢ＝９０°，∴∠ＰＡＭ＋∠ＰＢＡ＝９０°，∠ＡＰＭ＋∠ＢＰＭ＝９０°，又∵∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，∴∠ＰＢＡ＝∠ＢＰＭ，∴ＰＭ＝ＭＢ．又∵四边形ＰＭＢＮ为平行四边形，∴四边形ＰＭＢＮ为菱形．（７分）（３）解法一：∵∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，∴ＰＭ＝ＡＭ，∵ＰＭ＝ＭＢ，∴ＡＭ＝ＭＢ，∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴ＣＤ∥ＡＢ且ＣＤ＝ＡＢ，设ＤＰ＝ａ，则ＡＤ＝２ＤＰ＝２ａ，由ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ得ＰＣ＝４ａ，∴ＤＣ＝ＡＢ＝５ａ，（８分）∴ＭＡ＝ＭＢ＝５ａ２，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＡＢＦ＝∠ＣＰＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＰＣＦ，∴△ＢＦＡ∽△ＰＦＣ，∴ＡＦＣＦ＝ＡＢＣＰ＝５ａ４ａ＝５４，（９分）∴ＡＦＡＣ＝５９，同理可得△ＭＥＡ∽△ＰＥＣ，∴ＡＥＣＥ＝ＡＭＣＰ＝５ａ２４ａ＝５８，∴ＡＥＡＣ＝５１３，（１０分）∴ＥＦＡＣ＝ＡＦＡＣ－ＡＥＡＣ＝５９－５１３＝２０１１７，（１１分）∵ＥＦＡＣ∶ＡＥＡＣ＝ＥＦＡＥ，∴ＥＦＡＥ＝２０１１７∶５１３＝４９．（１２分）解法二：过点Ｆ作ＦＧ∥ＰＭ，交ＭＢ于点Ｇ．∵∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，∴ＰＭ＝ＡＭ，∵ＰＭ＝ＭＢ，∴ＡＭ＝ＭＢ，∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴ＣＤ∥ＡＢ且ＣＤ＝ＡＢ，设ＤＰ＝ａ，则ＡＤ＝２ＤＰ＝２ａ，􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第六章　空间与图形４７　　　由ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ得ＰＣ＝４ａ，∴ＤＣ＝ＡＢ＝５ａ，（８分）∴ＭＡ＝ＭＢ＝５ａ２．∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＣＰＦ＝∠ＡＢＦ，∠ＰＣＦ＝∠ＢＡＦ，∴△ＰＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＰＦＢＦ＝ＣＰＡＢ＝４ａ５ａ＝４５，（９分）∵ＦＧ∥ＰＭ，∴ＭＧＢＧ＝ＰＦＢＦ＝４５，（１０分）∴ＭＧＭＢ＝４９，∵ＡＭ＝ＭＢ，∴ＭＧＡＭ＝４９，∵ＦＧ∥ＰＭ，∴ＥＦＡＥ＝ＭＧＡＭ＝４９．（１２分）　　变式训练　（２０１７上海，２１，１０分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ＡＢＣ，水平横梁ＢＣ长１８米，中柱ＡＤ高６米，其中Ｄ是ＢＣ的中点，且ＡＤ⊥ＢＣ．（１）求ｓｉｎＢ的值；（２）现需要加装支架ＤＥ、ＥＦ，其中点Ｅ在ＡＢ上，ＢＥ＝２ＡＥ，且ＥＦ⊥ＢＣ，垂足为点Ｆ．求支架ＤＥ的长．解析　（１）∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝９０°．∵Ｄ为ＢＣ的中点，ＢＣ＝１８米，∴ＢＤ＝９米，又ＡＤ＝６米，∴ＡＢ＝ＢＤ２＋ＡＤ２＝８１＋３６＝３１３米，∴ｓｉｎＢ＝ＡＤＡＢ＝６３１３＝２１３１３．（２）∵ＢＥ＝２ＡＥ，ＡＢ＝３１３米，∴ＢＥ＝２１３米，∵ＥＦ⊥ＢＤ，ＡＤ⊥ＢＣ，∴ＥＦ∥ＡＤ，∴△ＢＦＥ∽△ＢＤＡ，∴ＢＦＢＤ＝ＥＦＡＤ＝ＢＥＡＢ＝２３，∴ＢＦ＝６米，ＥＦ＝４米，∴ＤＦ＝３米．在Ｒｔ△ＤＥＦ中，ＤＥ＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝３２＋４２＝５（米）．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋