（全国通用）2019年中考数学复习 第八章 专题拓展 8.5 开放探究型（讲解部分）检测（pdf）

第八章　专题拓展７７　　　§８．５　开放探究型１９７题型特点开放探究型试题的答案不唯一，解题的方向不确定，条件（或结论）不止一种情况．解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法．解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后进行严格证明．命题趋势开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，题型新颖，构思精巧，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等．主要有三种形式：１．条件的开放与探究；２．结论的开放与探究；３．解题策略的开放与探究．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１９７题型一　条件开放型问题　　条件开放型探究题的特征是缺少确定的条件，一般要求学生将所缺的条件补充完整，并根据自己给出的条件进行解答．例　（２０１７新疆，２３，１３分）如图，抛物线ｙ＝－１２ｘ２＋３２ｘ＋２与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ．（１）求点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标；（２）将△ＡＢＣ绕ＡＢ中点Ｍ旋转１８０°，得到△ＢＡＤ．①求点Ｄ的坐标；②判断四边形ＡＤＢＣ的形状，并说明理由；（３）在该抛物线对称轴上是否存在点Ｐ，使△ＢＭＰ与△ＢＡＤ相似？若存在，请直接写出所有满足条件的Ｐ点的坐标；若不存在，请说明理由．解析　（１）令ｙ＝－１２ｘ２＋３２ｘ＋２＝０，解得ｘ１＝－１，ｘ２＝４，所以点Ａ的坐标为（－１，０），点Ｂ的坐标为（４，０），当ｘ＝０时，ｙ＝２，所以点Ｃ的坐标为（０，２）．（２）①过点Ｄ作ＤＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，∵将△ＡＢＣ绕ＡＢ中点Ｍ旋转１８０°，得到△ＢＡＤ，∴△ＡＯＣ≌△ＢＥＤ，∴ＤＥ＝ＯＣ＝２，ＡＯ＝ＢＥ＝１，∵ＯＢ＝４，∴ＯＥ＝４－１＝３，∴点Ｄ的坐标为（３，－２）．②∵将△ＡＢＣ绕ＡＢ中点Ｍ旋转１８０°，得到△ＢＡＤ，∴ＡＣ＝ＢＤ，ＡＤ＝ＢＣ，∴四边形ＡＤＢＣ是平行四边形，∵ＡＣ＝１２＋２２＝５，ＢＣ＝２２＋４２＝２５，ＡＢ＝５，∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２，∴△ＡＣＢ是直角三角形，且∠ＡＣＢ＝９０°，∴四边形ＡＤＢＣ是矩形．（３）点Ｐ的坐标为（１．５，１．２５），（１．５，－１．２５），（１．５，５）或（１．５，－５）．详解：∵点Ａ的坐标为（－１，０），点Ｂ的坐标为（４，０），点Ｍ为ＡＢ的中点，∴ＯＭ＝１．５，ＭＢ＝２．５．由（２）得ＡＣ＝ＢＤ＝５，ＡＤ＝ＢＣ＝２５．当△ＢＭＰ∽△ＡＤＢ时，ＢＭＭＰ＝ＡＤＢＤ＝２１，∴２．５ＭＰ＝２１，∴ＰＭ＝１．２５，∴点Ｐ的坐标为（１．５，１．２５）或（１．５，－１．２５）；当△ＢＭＰ∽△ＢＤＡ时，ＢＭＭＰ＝ＢＤＡＤ＝１２，∴２．５ＭＰ＝１２，∴ＰＭ＝５，∴点Ｐ的坐标为（１．５，５）或（１．５，－５）．综上所述，点Ｐ的坐标为（１．５，１．２５），（１．５，－１．２５），（１．５，５）或（１．５，－５）．好题精练１．（２０１７甘肃兰州，１９，４分）在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，要使四边形ＡＢＣＤ是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①ＡＢ⊥ＡＤ，且ＡＢ＝ＡＤ；②ＡＢ＝ＢＤ，且ＡＢ⊥ＢＤ；③ＯＢ＝ＯＣ，且ＯＢ⊥ＯＣ；④ＡＢ＝ＡＤ，且ＡＣ＝ＢＤ．其中满足题意的条件的序号是　　　　（写出所有满足题意的条件的序号）．１．答案　①③④解析　①有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确．②ＢＤ为平行四边形的对角线，ＡＢ为平行四边形的一条边，所以当ＡＢ＝ＢＤ时，平行四边形不可能是正方形，即②错误．③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形．由ＯＢ＝ＯＣ，得对角线相等，即ＡＣ＝ＢＤ，由ＯＢ⊥ＯＣ，得ＡＣ⊥ＢＤ，即平行四边形ＡＢＣＤ为正方形，即③正确．④邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，即④正确．２．（２０１８河南，１９，９分）如图，ＡＢ是☉Ｏ的直径，ＤＯ⊥ＡＢ于点􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋７８　　　５年中考３年模拟Ｏ，连接ＤＡ交☉Ｏ于点Ｃ，过点Ｃ作☉Ｏ的切线交ＤＯ于点Ｅ，连接ＢＣ交ＤＯ于点Ｆ．（１）求证：ＣＥ＝ＥＦ；（２）连接ＡＦ并延长，交☉Ｏ于点Ｇ．填空：①当∠Ｄ的度数为　　　　时，四边形ＥＣＦＧ为菱形；②当∠Ｄ的度数为　　　　时，四边形ＥＣＯＧ为正方形．２．解析　（１）证明：连接ＯＣ．∵ＣＥ是☉Ｏ的切线，∴ＯＣ⊥ＣＥ．∴∠ＦＣＯ＋∠ＥＣＦ＝９０°．∵ＤＯ⊥ＡＢ，∴∠Ｂ＋∠ＢＦＯ＝９０°．∵∠ＣＦＥ＝∠ＢＦＯ，∴∠Ｂ＋∠ＣＦＥ＝９０°．（３分）∵ＯＣ＝ＯＢ，∴∠ＦＣＯ＝∠Ｂ．∴∠ＥＣＦ＝∠ＣＦＥ．∴ＣＥ＝ＥＦ．（５分）（２）①３０°．（注：若填为３０，不扣分）（７分）②２２．５°．（注：若填为２２．５，不扣分）（９分）题型二　运动型问题　　动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性；就其运动对象而言有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平移、旋转、翻折等．动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的热点．解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解．例１　（２０１７吉林，２５，１０分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝４５°，ＡＢ＝４ｃｍ．点Ｐ从点Ａ出发，以２ｃｍ／ｓ的速度沿边ＡＢ向终点Ｂ运动．过点Ｐ作ＰＱ⊥ＡＢ交折线ＡＣＢ于点Ｑ，Ｄ为ＰＱ中点，以ＤＱ为边向右侧作正方形ＤＥＦＱ．设正方形ＤＥＦＱ与△ＡＢＣ重叠部分图形的面积是ｙ（ｃｍ２），点Ｐ的运动时间为ｘ（ｓ）．（１）当点Ｑ在边ＡＣ上时，正方形ＤＥＦＱ的边长为　　ｃｍ（用含ｘ的代数式表示）；（２）当点Ｐ不与点Ｂ重合时，求点Ｆ落在边ＢＣ上时ｘ的值；（３）当０＜ｘ＜２时，求ｙ关于ｘ的函数解析式；（４）直接写出边ＢＣ的中点落在正方形ＤＥＦＱ内部时ｘ的取值范围．解析　（１）ｘ．（２分）（２）如图①，延长ＦＥ交ＡＢ于点Ｇ．图①由题意，得ＡＰ＝ＱＰ＝２ｘｃｍ．∵Ｄ为ＰＱ中点，∴ＤＱ＝ｘｃｍ，∴ＧＰ＝ｘｃｍ，ＢＧ＝２ｘｃｍ，∴２ｘ＋ｘ＋２ｘ＝４，∴ｘ＝４５．（４分）（３）如图②，当０＜ｘ≤４５时，ｙ＝Ｓ正方形ＤＥＦＱ＝ＤＱ２＝ｘ２ｃｍ２，即此时ｙ＝ｘ２．图②如图③，当４５＜ｘ≤１时，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，交ＦＱ于点Ｋ，易知ＣＨ＝２ｃｍ．图③∵ＰＱ＝ＡＰ＝２ｘｃｍ，∴ＣＫ＝（２－２ｘ）ｃｍ，∴ＭＱ＝２ＣＫ＝（４－４ｘ）ｃｍ，∴ＦＭ＝ｘ－（４－４ｘ）＝（５ｘ－４）ｃｍ，∴重叠部分图形的面积＝Ｓ正方形ＤＥＦＱ－Ｓ△ＭＮＦ＝－２３２ｘ２＋２０ｘ－８()ｃｍ２，即此时ｙ＝－２３２ｘ２＋２０ｘ－８．如图④，当１＜ｘ＜２时，ＰＱ＝ＢＰ＝（４－２ｘ）ｃｍ．∴ＤＱ＝（２－ｘ）ｃｍ．图④重叠部分图形的面积＝Ｓ△ＤＥＱ＝１２ＤＱ２＝１２（ｘ－２）２ｃｍ２，即此时ｙ＝１２ｘ２－２ｘ＋２．（８分）（４）１＜ｘ＜３２．（１０分）(详解：设ＢＣ中点为Ｍ，由（３）可知􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第八章　专题拓展７９　　　当Ｑ与Ｃ重合时，Ｅ恰好与Ｍ重合，此时ｘ＝１；当Ｑ与Ｍ重合时，ｘ＝３２．∴ＢＣ中点落在正方形ＤＥＦＱ的内部时，１＜ｘ＜３２)例２　（２０１８吉林，２５，１０分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ｃｍ，∠ＡＤＢ＝３０°．Ｐ，Ｑ两点分别从Ａ，Ｂ同时出发，点Ｐ沿折线ＡＢ－ＢＣ运动，在ＡＢ上的速度是２ｃｍ／ｓ，在ＢＣ上的速度是２３ｃｍ／ｓ；点Ｑ在ＢＤ上以２ｃｍ／ｓ的速度向终点Ｄ运动．过点Ｐ作ＰＮ⊥ＡＤ，垂足为点Ｎ．连接ＰＱ，以ＰＱ，ＰＮ为邻边作▱ＰＱＭＮ．设运动时间为ｘ（ｓ），▱ＰＱＭＮ与矩形ＡＢＣＤ重叠部分的图形面积为ｙ（ｃｍ２）．（１）当ＰＱ⊥ＡＢ时，ｘ＝　　　　；（２）求ｙ关于ｘ的函数解析式，并写出ｘ的取值范围；（３）直线ＡＭ将矩形ＡＢＣＤ的面积分成１∶３两部分时，直接写出ｘ的值．　　　　备用图解析　（１）２３．（２分）（２）当０≤ｘ＜２３时，如图①，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＡＢ于Ｈ．由题意得ＱＨ＝３ｘ，ＡＰ＝２ｘ．∴ｙ＝Ｓ▱ＰＱＭＮ＝ＡＰ·ＱＨ＝２ｘ·３ｘ＝２３ｘ２．（４分）∴ｙ＝２３ｘ２．当２３≤ｘ＜１时，如图②，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＡＢ于Ｈ．设ＱＭ与ＡＤ交于点Ｇ．∴ｙ＝Ｓ梯形ＰＱＧＡ＝１２（ＱＧ＋ＡＰ）·ＱＨ＝１２（２－ｘ＋２ｘ）·３ｘ＝３２ｘ２＋３ｘ．（６分）∴ｙ＝３２ｘ２＋３ｘ．当１≤ｘ≤２时，如图③，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＡＢ于Ｈ．ｙ＝Ｓ梯形ＰＱＧＮ＝１２（ＱＧ＋ＰＮ）·ＧＮ＝１２（２－ｘ＋２）［３ｘ－２３（ｘ－１）］＝３２ｘ２－３３ｘ＋４３．∴ｙ＝３２ｘ２－３３ｘ＋４３．（８分）（３）２５或４７．（如图④，如图⑤）（１０分）提示：由题意知ＢＣ＝ＡＤ＝ＡＢｔａｎ６０°＝２３，当Ｅ点在ＢＣ上时，Ｓ△ＡＢＥＳ矩形ＡＢＣＤ＝１２ＡＢ·ＢＥＡＢ·ＢＣ＝１３＋１＝１４⇒ＢＥ＝１２ＢＣ＝３，如图，作ＥＦ∥ＣＤ交ＢＤ于点Ｆ，设ＢＤ与ＡＥ的交点为Ｏ，则ＢＦ＝１２ＢＤ＝２，由△ＦＥＯ∽△ＢＡＯ可得ＢＯ＝２３ＢＦ＝４３，而ＡＰ＝ＢＱ＝２ｘ，由ＰＱ∥ＯＡ可得ＢＱＢＯ＝ＢＰＡＢ⇒２ｘ４３＝２－２ｘ２⇒ｘ＝２５．同理，当Ｅ点在ＤＣ上时，Ｓ△ＡＤＥＳ矩形ＡＢＣＤ＝１２ＡＤ·ＤＥＡＢ·ＢＣ＝１３＋１＝１４⇒ＤＥ＝１２ＡＢ＝１，设ＡＥ、ＢＤ交点为Ｏ，由△ＤＥＯ∽△ＢＡＯ可得ＢＯ＝２３ＢＤ＝８３，又ＡＰ＝ＢＱ＝２ｘ，且ＰＱ∥ＯＡ所以ＢＱＢＯ＝ＢＰＡＢ⇒２ｘ８３＝２－２ｘ２⇒ｘ＝４７．评分说明：１．第（２）题，写自变量取值范围用“＜”或“≤”均不扣分；２．第（２）题，结果正确，不画图或画图错误均不扣分．好题精练１．（２０１７湖北武汉，２４，１２分）已知点Ａ（－１，１），Ｂ（４，６）在抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ上．（１）求抛物线的解析式；（２）如图１，点Ｆ的坐标为（０，ｍ）（ｍ＞２），直线ＡＦ交抛物线于另一点Ｇ，过点Ｇ作ｘ轴的垂线，垂足为Ｈ，设抛物线与ｘ轴的正半轴交于点Ｅ，连接ＦＨ，ＡＥ，求证：ＦＨ∥ＡＥ；（３）如图２，直线ＡＢ分别交ｘ轴，ｙ轴于Ｃ，Ｄ两点，点Ｐ从点Ｃ出发，沿射线ＣＤ方向匀速运动，速度为每秒２个单位长度，同时点Ｑ从原点Ｏ出发，沿ｘ轴正方向匀速运动，速度为每秒１个单位长度，点Ｍ是直线ＰＱ与抛物线的一个交点，当运动到ｔ秒时，ＱＭ＝２ＰＭ，直接写出ｔ的值．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋８０　　　５年中考３年模拟１．解析　（１）将点Ａ（－１，１），Ｂ（４，６）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ有ａ－ｂ＝１，１６ａ＋４ｂ＝６，{解得ａ＝１２，ｂ＝－１２，ìîíïïïï∴抛物线的解析式为ｙ＝１２ｘ２－１２ｘ．（２）证明：设直线ＡＦ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｍ（ｋ≠０）．将点Ａ（－１，１）代入解析式，得－ｋ＋ｍ＝１，∴ｍ＝ｋ＋１，∴直线ＡＦ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１，∴Ｆ（０，ｋ＋１）．由ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１，ｙ＝１２ｘ２－１２ｘ{消去ｙ得１２ｘ２－１２ｘ＝ｋｘ＋ｋ＋１，解得ｘ１＝－１，ｘ２＝２ｋ＋２，∴点Ｇ的横坐标为２ｋ＋２，又ＧＨ⊥ｘ轴，∴点Ｈ的坐标为（２ｋ＋２，０）．设直线ＦＨ的解析式为ｙ＝ｋ０ｘ＋ｂ０（ｋ０≠０），则ｋ０（２ｋ＋２）＋ｂ０＝０，ｂ０＝ｋ＋１，{解得ｋ０＝－１２，ｂ０＝ｋ＋１，{∴直线ＦＨ的解析式为ｙ＝－１２ｘ＋ｋ＋１．设直线ＡＥ的解析式为ｙ