（全国通用）2019年中考数学复习 第八章 专题拓展 8.2 实验操作型（讲解部分）检测（pdf）

６０　　　§８．２　实验操作型１８３题型特点　　常见的形式有裁剪与拼接，折叠与对称，平移与旋转，作图与测量等，重点考查学生的实践能力和创新意识．命题趋势在动手操作的过程中，让学生感受到数学学习的乐趣和价值，经历“数学化”和“再创造”的过程不断提高学生的创新意识和综合能力，一般用到三角形、四边形、圆的性质等知识解题，解答题较多．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１８４题型一　裁剪、拼接、作图　　１．五种基本作图基本作图作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作已知角的平分线过一点作已知直线的垂线作已知线段的垂直平分线图形　　２．分割与拼接问题通常先给出一个图形，然后让你用直线或弧线将图形分成特殊形状或面积相等的几部分，解决这类问题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行求解．例１　（２０１７福建，１９，８分）如图，△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ．求作∠ＡＢＣ的平分线，分别交ＡＤ，ＡＣ于Ｐ，Ｑ两点，并证明ＡＰ＝ＡＱ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）解析　如图，ＢＱ是所求作的∠ＡＢＣ的平分线，Ｐ，Ｑ是所求作的点．证明如下：∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＢＰＤ＋∠ＰＢＤ＝９０°．∵∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＡＱＰ＋∠ＡＢＱ＝９０°．∵∠ＡＢＱ＝∠ＰＢＤ，∴∠ＢＰＤ＝∠ＡＱＰ．∵∠ＢＰＤ＝∠ＡＰＱ，∴∠ＡＰＱ＝∠ＡＱＰ，∴ＡＰ＝ＡＱ．例２　（２０１８北京，１７，５分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线ｌ及直线ｌ外一点Ｐ．求作：直线ＰＱ，使得ＰＱ∥ｌ．作法：如图，①在直线ｌ上取一点Ａ，作射线ＰＡ，以点Ａ为圆心，ＡＰ长为半径画弧，交ＰＡ的延长线于点Ｂ；②在直线ｌ上取一点Ｃ（不与点Ａ重合），作射线ＢＣ，以点Ｃ为圆心，ＣＢ长为半径画弧，交ＢＣ的延长线于点Ｑ；③作直线ＰＱ．所以直线ＰＱ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（１）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（２）完成下面的证明．证明：∵ＡＢ＝　　　　，ＣＢ＝　　　　，∴ＰＱ∥ｌ（　　　　　　　　　）（填推理的依据）．解析　（１）补全图形，如图所示：（２）ＡＰ；ＣＱ；三角形的中位线平行于三角形的第三边．好题精练１．（２０１８云南昆明，１４，４分）如图，点Ａ在双曲线ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）上，过点Ａ作ＡＢ⊥ｘ轴，垂足为点Ｂ，分别以点Ｏ和点Ａ为圆心，大于１２ＯＡ的长为半径作弧，两弧相交于Ｄ，Ｅ两点，作直线ＤＥ交ｘ轴于点Ｃ，交ｙ轴于点Ｆ（０，２），连接ＡＣ，若ＡＣ＝１，则ｋ的值为（　　）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第八章　专题拓展６１　　　Ａ．２Ｂ．３２２５Ｃ．４３５Ｄ．２５＋２５１．答案　Ｂ　设ＤＥ与ＡＯ交于点Ｇ，由题意知，ＤＥ为线段ＯＡ的垂直平分线，∴ＤＥ⊥ＡＯ，ＯＧ＝ＡＧ，∴ＯＣ＝ＡＣ＝１，在Ｒｔ△ＦＯＣ中，ＣＦ＝ＯＣ２＋ＯＦ２＝５，∴ＯＧ＝２５５，∴ＡＯ＝４５５．易证△ＦＯＣ∽△ＯＢＡ，∴Ｓ△ＯＢＡＳ△ＦＯＣ＝ＯＡＦＣ()２，∴Ｓ△ＯＢＡ＝１６２５．∴ｋ＝２Ｓ△ＯＢＡ＝３２２５，故选Ｂ．２．（２０１８四川成都，１４，４分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，按以下步骤作图：①分别以点Ａ和Ｃ为圆心，以大于１２ＡＣ的长为半径作弧，两弧相交于点Ｍ和Ｎ；②作直线ＭＮ交ＣＤ于点Ｅ．若ＤＥ＝２，ＣＥ＝３，则矩形的对角线ＡＣ的长为　　　　．２．答案　３０解析　如图，连接ＡＥ，由作图方法得ＭＮ垂直平分ＡＣ，∴ＥＡ＝ＥＣ＝３．∴在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ＝ＡＥ２－ＤＥ２＝３２－２２＝５．∴在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＣ＝ＡＤ２＋ＤＣ２＝（５）２＋５２＝３０．３．（２０１７安徽，１４，５分）在三角形纸片ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，∠Ｃ＝３０°，ＡＣ＝３０ｃｍ．将该纸片沿过点Ｂ的直线折叠，使点Ａ落在斜边ＢＣ上的一点Ｅ处，折痕记为ＢＤ（如图１），剪去△ＣＤＥ后得到双层△ＢＤＥ（如图２），再沿着过△ＢＤＥ某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形．则所得平行四边形的周长为　　　　ｃｍ．３．答案　４０或８０３３（只写出一个正确答案得３分）解析　由已知可知△ＡＤＢ≌△ＥＤＢ，又∠Ａ＝９０°，∠Ｃ＝３０°，所以∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ＝∠Ｃ＝３０°，则ＣＤ＝ＢＤ，设ＡＤ＝ＤＥ＝ｘｃｍ，则ＣＤ＝（３０－ｘ）ｃｍ，在直角三角形ＡＢＤ中，ｓｉｎ３０°＝ＡＤＢＤ＝ｘ３０－ｘ＝１２，解得ｘ＝１０，所以ＢＤ＝２０ｃｍ，ＡＢ＝１０３ｃｍ．经分析可知满足题意的剪法有以下两种：①取ＢＤ的中点Ｆ，连接ＥＦ，ＡＦ，沿ＥＦ剪开所得四边形ＡＤＥＦ是平行四边形，也是菱形，其边长ＤＥ为１０ｃｍ，故其周长为４０ｃｍ；②作∠ＥＤＢ的平分线ＤＭ，沿ＤＭ剪开所得四边形是平行四边形，也是菱形，其边长ＤＭ＝ＤＥｃｏｓ３０°＝１０３２＝２０３３ｃｍ，故其周长为４×２０３３＝８０３３ｃｍ．综上，所求周长为４０ｃｍ或８０３３ｃｍ．４．（２０１７北京，１６，３分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°．求作：Ｒｔ△ＡＢＣ的外接圆．作法：如图．（１）分别以点Ａ和点Ｂ为圆心，大于１２ＡＢ的长为半径作弧，两弧相交于Ｐ，Ｑ两点；（２）作直线ＰＱ，交ＡＢ于点Ｏ；（３）以Ｏ为圆心，ＯＡ长为半径作☉Ｏ．☉Ｏ即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是　　　　　　　　　　　　．４．答案　到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义５．（２０１６江苏南京，２４，７分）如图，在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＤ上一点，延长ＣＥ到点Ｆ，使∠ＦＢＣ＝∠ＤＣＥ．（１）求证：∠Ｄ＝∠Ｆ；（２）用直尺和圆规在ＡＤ上作出一点Ｐ，使△ＢＰＣ∽△ＣＤＰ（保留作图的痕迹，不写作法）．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６２　　　５年中考３年模拟５．解析　（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＣＥＤ＝∠ＢＣＦ．∵∠ＣＥＤ＋∠ＤＣＥ＋∠Ｄ＝１８０°，∠ＢＣＦ＋∠ＦＢＣ＋∠Ｆ＝１８０°，∴∠Ｄ＝１８０°－∠ＣＥＤ－∠ＤＣＥ，∠Ｆ＝１８０°－∠ＢＣＦ－∠ＦＢＣ．又∠ＤＣＥ＝∠ＦＢＣ，∴∠Ｄ＝∠Ｆ．（４分）（２）图中Ｐ就是所求作的点．（７分）６．（２０１８福建，２０，８分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ＡＢＣ及线段Ａ′Ｂ′，∠Ａ′（∠Ａ′＝∠Ａ），以线段Ａ′Ｂ′为一边，在给出的图形上用尺规作出△Ａ′Ｂ′Ｃ′，使得△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知，求证和证明过程．６．解析　①如图，△Ａ′Ｂ′Ｃ′即为所求作的三角形．②已知：如图，△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，Ａ′Ｂ′ＡＢ＝Ｂ′Ｃ′ＢＣ＝Ａ′Ｃ′ＡＣ＝ｋ，ＡＤ＝ＤＢ，Ａ′Ｄ′＝Ｄ′Ｂ′．求证：Ｃ′Ｄ′ＣＤ＝ｋ．证明：∵ＡＤ＝ＤＢ，Ａ′Ｄ′＝Ｄ′Ｂ′，∴ＡＤ＝１２ＡＢ，Ａ′Ｄ′＝１２Ａ′Ｂ′，∴Ａ′Ｄ′ＡＤ＝１２Ａ′Ｂ′１２ＡＢ＝Ａ′Ｂ′ＡＢ，又Ａ′Ｂ′ＡＢ＝Ａ′Ｃ′ＡＣ，∴Ａ′Ｄ′ＡＤ＝Ａ′Ｃ′ＡＣ，∵△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，∴∠Ａ′＝∠Ａ，∴△Ｃ′Ａ′Ｄ′∽△ＣＡＤ，∴Ｃ′Ｄ′ＣＤ＝Ａ′Ｃ′ＡＣ＝ｋ．题型二　折叠与对称　　图形的折叠属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件．另外，折叠还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质．该类题型综合性较强，但是难度不大．例　（２０１６江苏苏州，１７，３分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０，∠Ｂ＝６０°，点Ｄ、Ｅ分别在ＡＢ、ＢＣ上，且ＢＤ＝ＢＥ＝４，将△ＢＤＥ沿ＤＥ所在直线折叠得到△Ｂ′ＤＥ（点Ｂ′在四边形ＡＤＥＣ内），连接ＡＢ′，则ＡＢ′的长为　　　　．解析　由折叠知△Ｂ′ＤＥ≌△ＢＤＥ，∵∠Ｂ＝６０°，ＢＤ＝ＢＥ＝４，∴△ＤＢＥ为等边三角形，ＡＤ＝６，ＤＢ＝ＢＥ＝ＥＢ′＝Ｂ′Ｄ，∴四边形ＢＤＢ′Ｅ为菱形，∴Ｂ′Ｄ∥ＢＥ．∴∠Ｂ′ＤＡ＝∠Ｂ＝６０°．作Ｂ′Ｇ⊥ＡＤ于点Ｇ，在Ｒｔ△Ｂ′ＧＤ中，易得Ｂ′Ｇ＝２３，ＤＧ＝２，∴ＡＧ＝ＡＤ－ＤＧ＝４，∴在Ｒｔ△ＡＢ′Ｇ中，ＡＢ′＝ＡＧ２＋Ｂ′Ｇ２＝１６＋１２＝２７．答案　２７好题精练１．（２０１６山东威海，１２，３分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，点Ｅ为ＢＣ的中点．将△ＡＢＥ沿ＡＥ折叠，使点Ｂ落在矩形内点Ｆ处，连接ＣＦ．则ＣＦ的长为（　　）Ａ．９５Ｂ．１２５Ｃ．１６５Ｄ．１８５１．答案　Ｄ　连接ＢＦ，交ＡＥ于Ｈ，则ＡＥ垂直平分ＢＦ，∵ＢＣ＝６，点Ｅ为ＢＣ的中点，∴ＢＥ＝３，又∵ＡＢ＝４，∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＡＥ＝５，∴ＢＨ＝１２５，∴ＢＦ＝２４５，∵ＦＥ＝ＢＥ＝ＥＣ，∴∠ＢＦＣ＝９０°，∴ＣＦ＝６２－２４５()２＝１８５，故选Ｄ．２．（２０１８新疆乌鲁木齐，１５，４分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２３，ＡＣ＝２，点Ｄ是ＢＣ的中点，点Ｅ是边ＡＢ上一动点，沿ＤＥ所在直线把△ＢＤＥ翻折到△Ｂ′ＤＥ的位置，Ｂ′Ｄ交ＡＢ于点Ｆ．若△ＡＢ′Ｆ为直角三角形，则ＡＥ的长为　　　　．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第八章　专题拓展６３　　　２．答案　３或２．８解析　易知∠Ｂ′ＡＦ不可能为直角．当∠Ｂ′ＦＡ是直角时，如图１，图１∵∠Ｃ是直角，∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＦ，∴△ＢＣＡ∽△ＢＦＤ，∴ＢＦＢＣ＝ＢＤＢＡ，又∵ＢＣ＝２３，且易知ＢＤ＝３，ＡＢ＝４，∴ＢＦ＝３４×２３＝３２，由翻折可知△ＤＢＥ≌△ＤＢ′Ｅ，∴ＢＥ＝Ｂ′Ｅ，∠ＥＢ′Ｆ＝∠ＡＢＤ＝３０°，∴ＢＥ＝ＥＢ′＝２ＥＦ，∴ＢＥ＝２３ＢＦ＝１，∴ＡＥ＝４－１＝３．当∠ＦＢ′Ａ是直角时，如图２，图２连接Ｂ′Ｃ、ＡＤ、ＢＢ′，由翻折可知△ＤＢＥ≌△ＤＢ′Ｅ，∴Ｂ′Ｄ＝ＢＤ＝１２ＢＣ＝ＣＤ，∴∠ＢＢ′Ｃ＝９０°，∵∠ＦＢ′Ａ＝∠ＡＣＤ＝９０°，∴Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＡＢ′Ｄ，∴ＡＣ＝ＡＢ′，又易证∠ＤＢ′Ｂ＝∠ＣＢ′Ａ，∴△ＤＢ′Ｂ∽△ＡＢ′Ｃ，∴ＢＢ′Ｂ′Ｃ＝ＢＤＣＡ＝３２，又ＤＣＣＡ＝３２，故可证△ＢＢ′Ｃ∽△ＤＣＡ，∴∠ＣＤＡ＝∠Ｂ′ＢＣ，∴ＡＤ∥ＢＢ′，延长ＤＥ交ＢＢ′于Ｍ，可得ＡＤＢＭ＝ＡＥＢＥ＝ＡＥ４－ＡＥ（∗），易知ＤＭ垂直平分ＢＢ′，∴ＢＭ＝１２ＢＢ′，在直角三角形ＢＢ′Ｃ中，由ＢＢ′２＋Ｂ′Ｃ２＝ＢＣ２＝１２，ＢＢ′Ｂ′Ｃ＝３２，可求得ＢＢ′＝６７７，∴ＢＭ＝３７７．在直角三角形ＤＣＡ中，ＤＡ＝２２＋（３）２＝７，将ＢＭ＝３７７，ＡＤ＝７代入（∗）可得ＡＥ＝２．８．综上，ＡＥ＝３或２．８．３．（２０１７四川成都，２５，４分）如图１，把一张正方形纸片对折得到长方形ＡＢＣＤ，再沿∠ＡＤＣ的平分线ＤＥ折叠，如图２，点Ｃ落在点Ｃ′处，最后按图３所示方式折叠，使点Ａ落在ＤＥ的中点Ａ′处，折痕是ＦＧ．若原正方形纸片的边长为６ｃｍ，则ＦＧ＝　　　　ｃｍ．３．答案　１０解析　如图，连接ＡＡ′，作ＧＭ⊥ＡＤ于点Ｍ，作Ａ′Ｎ⊥ＡＤ于点Ｎ，设ＡＡ′与ＦＧ交于点Ｏ，由题意知ＤＮ＝１２ＤＣ′＝３２ｃｍ，∴ＡＮ＝ＡＤ－ＤＮ＝９２ｃｍ，Ａ′Ｎ＝３２ｃｍ．在Ｒｔ△ＡＡ′Ｎ中，ＡＡ′＝Ａ′Ｎ２＋ＡＮ２＝３１０２ｃｍ，由对称性得ＦＧ垂直平分ＡＡ′，∴∠１＋∠３＝９０°，又∠２＋∠３＝９０°，∴∠１＝∠２，∴Ｒｔ△ＡＮＡ′∽Ｒｔ△ＧＭＦ，∴ＡＡ′ＡＮ＝ＧＦＧＭ，∴ＧＦ＝１０ｃｍ．４．（２０１６山东临沂，１８，３分）如图，将一矩形纸片ＡＢＣＤ折叠，使两个顶点Ａ，Ｃ重合，折痕为ＦＧ．若ＡＢ＝４，ＢＣ＝８，则△ＡＢＦ的面积为　　　　．