2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．若数列{an}满足a1＝12，an＋1＝2an3an＋2EA，n∈N*，则a2017的值为．解：由an＋1＝2an3an＋2得1an＋1＝1an＋32．又a1＝12，所以1a1＝2，所以1a2017＝2＋2016×32＝3026，所以a2017＝13026．2．若函数f(x)＝(x2－1)(x2＋ax＋b)对于任意x∈R都满足f(x)＝f(4－x)，则f(x)的最小值是．解：f(1)＝f(－1)＝0，又f(x)＝f(4－x)，所以f(3)＝f(5)＝0，所以f(x)＝(x2－1)(x－3)(x－5)＝(x2－4x＋3)(x2－4x－5)．令t＝x2－4x＋4≥0，则f(x)＝(t－1)(t－9)＝(t－5)2－16，所以f(x)的最小值是－16．3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是侧棱BB1，CC1上的点，EC＝BC＝2BD，则截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小是.解：设BC＝2，则△ABC的面积为3．因为EC＝BC＝2BD，所以EC＝2，BD＝1，从而AE＝22，AD＝DE＝5，所以△ADE的面积为6．因此cosθ＝36＝22，即θ＝45°．4．若sinxsin2xsin3x＋cosxcos2xcos3x＝1，则x＝．解：因为1＝|sinxsin2xsin3x＋cosxcos2xcos3x|≤|sinxsin2xsin3x|＋|cosxcos2xcos3x|≤|sinxsin2x|＋|cosxcos2x|≤max{|cosx|，|cos3x|}≤1．所以|cosx|＝1，或|cos3x|＝1．若|cos3x|＝1，则sin3x＝0，从而|cosx|＝1．由|cosx|＝1，得x＝kπ，k∈Z．ABCDE（第3题图）A1B1C1经检验可知，x＝kπ，k∈Z满足原方程．5．设x，y是实数，则EA2x＋A2AyE2x4＋4y4＋9EA的最大值是．解：因为2x4＋2＋2＋2≥8x，4y4＋1＋1＋1≥42y，所以2x4＋4y4＋9≥8x＋42y．两边同除以2x4＋4y4＋9，得2x＋2y2x4＋4y4＋9≤14，当x＝1，y＝22时取等号．因此2x＋2y2x4＋4y4＋9的最大值是14．6．设an＝1＋2＋…＋n，n∈N*，Sm＝a1＋a2＋…＋am，m＝1，2，3，…，则S1，S2，…，S2017中能被2整除但不能被4整除的数的个数是．解：Sm＝m(m＋1)(m＋2)E6EA．因此Sm≡2(mod4)⇔m(m＋1)(m＋2)≡4(mod8)⇔m≡3(mod8)．所以S1，S2，…，S2017中能被2整除但不能被4整除的数的个数为[A20178EA]＝252．7．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线x2－y2b2EA＝1(b＞0)的左，右焦点，过点F1作圆x2＋y2＝1的切线，与双曲线左，右两支分别交于点A，B．若F2B＝AB，则b的值是．解：由已知及双曲线的定义，得：AF1＝BF1－AB＝BF1－BF2＝2，AF2＝2＋AF1＝4．在Rt△OTF1中，OT＝1，OF1＝c，TF1＝b，所以cos∠F2F1A＝bc．在△AF1F2中，由余弦定理得：cos∠F2F1A＝F1F22＋AF12－AF222F1F2·AF1EA＝Ac2－32cEA．所以c2－3＝2b．又由c2＝1＋b2，得b2－2b－2＝0，解之得b＝1±3(负值舍去)，即b＝1＋3．8．从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形．其中正多边形的个数为．解：正多边形的边数k是1680的约数，不同的正k边形有1680k（k≠1，2）个．因为1680＝24×3×5×7，当k取遍1680的约数，F1F2TABOxy（第7题图）∑(1680k)＝(1＋2＋4＋8＋16)(1＋3)(1＋5)(1＋7)＝5952．由于没有“正1边形”、“正2边形”，故所求个数为5952－1680－16802＝3432．二、解答题（本题满分16分）已知x，y∈R，且x2＋y2＝2，|x|≠|y|．求1(x＋y)2＋1(x－y)2的最小值．解：因为x2＋y2＝2，所以(x＋y)2＋(x－y)2＝4．…………………………4分所以1(x＋y)2EA＋A1(x－y)2EA＝A14EA(A1(x＋y)2EA＋A1(x－y)2EA)((x＋y)2＋(x－y)2)≥A14EA(1＋1)2＝1．…………………12分当x＝A2EA，y＝0时，A1(x＋y)2EA＋A1(x－y)2EA＝1．所以1(x＋y)2＋1(x－y)2的最小值为1．…………………16分三、解答题（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x23＋y2＝1的上顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP→·AQ→＝0．（1）直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（2）过P，Q两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B，求△BPQ面积的取值范围．解：（1）因为AP→·AQ→＝0，所以AP→⊥AQ→．直线AP，AQ与x轴平行时，P或Q与A重合，不合题意．设PA：y＝kx＋1，则QA：y＝－1kx＋1．将y＝kx＋1代入x2＋3y2＝3，得(1＋3k2)x2＋6kx＝0．所以xP＝－6k1＋3k2，yP＝21＋3k2－1．………………………………4分同理xQ＝6kk2＋3，yQ＝1－6k2＋3．所以直线l：y－yPyQ－yP＝x－xPxQ－xP，即l：(1＋3k2)(y＋1)－2(1＋3k2)(yQ＋1)－2＝(1＋3k2)x＋6k(1＋3k2)xQ＋6k．化简得l：y＝k2－14kx－12．直线l纵截距是常数－12，故直线l过定点(0，－12)．………………………8分（2）由（1），AP＝6|k|1＋k21＋3k2，同理，AQ＝61＋k2k2＋3．所以PQ2＝36(1＋k2)·[k2(1＋3k2)2＋1(k2＋3)2]＝36(1＋k2)·k2(k2＋3)2＋(1＋3k2)2(1＋3k2)2(k2＋3)2＝36(1＋k2)(k6＋15k4＋15k2＋1)(3k4＋10k2＋3)2．…………………………12分不妨设k＞0，令t＝k＋1k，则t≥2，可化得PQ2＝36t2(t2＋12)(3t2＋4)2，即PQ＝6tt2＋123t2＋4．设B(x0，y0)，则切点弦PQ的方程是x0x＋3y0y＝3．又P，Q在l：y＝k2－14kx－12上，所以y0＝－2．从而x0＝3(k2－1)2k．所以B到PQ的距离d＝3(k2－1k)2＋122(k2－1k)2＋16＝3t22t2＋12．因此△BPQ的面积S＝12×d×PQ＝12×3t22t2＋12×6tt2＋123t2＋4＝9t32(3t2＋4)．………………………………16分令u＝1t，则0＜u≤12，化得S＝92(4u3＋3u)．当0＜u≤12时，4u3＋3u递增．所以0＜4u3＋3u≤2，即S≥94，当且仅当u＝12，即t＝2，k＝1时，等号成立．故△BPQ的面积S的取值范围是[94，＋∞）．…………………………20分四、解答题（本题满分20分）设函数fn(x)＝1＋x＋12!x2＋…＋1n!xn．（1）求证：当x∈(0，＋∞)，n∈N*时，ex＞fn(x)；（2）设x＞0，n∈N*．若存在y∈R使得ex＝fn(x)＋1(n+1)!xn+1ey，求证：0＜y＜x．解：（1）用数学归纳法证明如下：(i)当n＝1时，令f(x)＝ex－f1(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1＞0，x∈(0，＋∞)恒成立，所以f(x)在区间(0，＋∞)为增函数．又因为f(0)＝0，所以f(x)＞0，即ex＞f1(x)．………………………………5分(ii)假设n＝k时，命题成立，即当x∈(0，＋∞)时，ex＞fk(x)，则n＝k+1时，令g(x)＝ex－fk+1(x)＝ex－(1＋x＋12!x2＋…＋1k!xk＋1(k+1)!xk+1)，则g′(x)＝ex－(1＋x＋12!x2＋…＋1k!xk)＝ex－fk(x)＞0，所以g(x)在区间(0，＋∞)为增函数．又因为g(0)＝0，所以g(x)＞0，x∈(0，＋∞)恒成立，即ex＞fk+1(x)，x∈(0，＋∞)．所以n＝k＋1时，命题成立．由(i)(ii)及归纳假设可知，∀n∈N*，当x∈(0，＋∞)时，ex＞fn(x)．………………………………10分（2）由（1）可知ex＞fn＋1(x)，即fn(x)＋1(n+1)!xn+1ey＞fn(x)＋1(n+1)!xn+1，所以ey＞1，即y＞0．下证：y＜x．下面先用数学归纳法证明：当x＞0，ex＜1＋x＋12!x2＋…＋1(n－1)!xn－1＋1n!xnex，n∈N*．(i)当n＝1时，令F(x)＝1+xex－ex，则F′(x)＝xex＞0，x∈(0，＋∞)，所以F(x)在区间(0，＋∞)单调增．又F(0)＝0，故F(x)＞0，即ex＜1+xex．(ii)假设n＝k时，命题成立，即当x∈(0，＋∞)时，ex＜1＋x＋12!x2＋…＋1(k－1)!xk－1＋1k!xkex．则当n＝k＋1时，令G(x)＝1＋x＋12!x2＋…＋1k!xk＋1(k+1)!xk+1ex－ex，G′(x)＝1＋x＋12!x2＋…＋1k!xkex＋1(k+1)!xk+1ex－ex＞1(k+1)!xk+1ex＞0，所以G(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，又G(0)＝0，故G(x)＞0，即ex＜1＋x＋12!x2＋…＋1k!xk＋1(k+1)!xk+1ex，x∈(0，＋∞)．由(i)(ii)及归纳假设，可知当x∈(0，＋∞)时，ex＜1＋x＋12!x2＋…＋1n!xn＋1(n+1)!xn+1ex，对n∈N*成立．所以ex＝1＋x＋12!x2＋…＋1n!xn＋1(n+1)!xn+1ey＜1＋x＋12!x2＋…＋1n!xn＋1(n+1)!xn+1ex，从而ey＜ex，即y＜x．证毕．………………………………20分2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试一、（本题满分40分）已知圆O的内接五边形ABCDE中AD与BE相交于点F，CF的延长线交圆O于点P，且AB·CD＝BC·ED．求证：OP⊥AE．证明：连接PA，PE．因为五边形ABCDE内接于圆O，所以∠BAF＝∠DEF，∠ABF＝∠EDF，所以△ABF∽△EDF，…………10分所以ABED＝FBFD．①同理，PEBC＝PFBF，②DCPA＝DFPF．③由①×②×③得ABED·PEBC·DCPA＝1．………………30分因为AB·CD＝BC·ED，所以ABBC·DCED＝1．所以PE＝PA，即点P是弧AE的中点，所以OP⊥AE．………………40分二、（本题满分40分）设x，y是非负实数，a＝x＋y，b＝x＋2＋y＋2．若a，b是两个不相邻的整数，求a，b的值．解：因为a，b是不相邻的整数，所以2≤b－a＝x＋2＋y＋2－(x＋y)＝(x＋2－x)＋(y＋2－y)＝2x＋2＋x＋2y＋2＋y≤22＋22＝22＜3．由于b－a是整数，所以b－a＝2．……………………10分ABCDEFOP第1页共4页设a＝n－1，b＝n＋1，n∈Z，即x＋y＝n－1，x＋2＋y＋2＝n＋1，则x－yx－y＝n－1，x－yx＋2－y＋2＝n＋1，即x－y＝x－yn－1，x＋2－y＋2＝x－yn＋1，于是2x＝n－1＋x－yn－1，2x＋2＝n＋1＋x－yn＋1，从而2(n－1)x＝(n－1)2＋(x－y)，2(n＋1)x＋2＝(n＋1)2＋(x－y)，故(n－1)x＋2n＝(n＋1)x＋2．……………………30分又因为(x＋2)2－(x)2＝2．①令t＝x，则x＋2＝(n－1)t＋2nn＋1，代入①得2nt2－2n(n－1)t－(n2－2n－1)＝0，于是x＝t＝2n(n－1)±4n2(n－1)2＋8n(n2－2n－1)4n＝n(n－1)±(n+1)n(n－2)2n，y＝n－1－x＝n(n－1)－＋(n+1)n(n－2)2n，因此，n≥