2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题-Word版含答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.若数列na满足Nnaaaannn,232,2111，则2017a的值为．2.若函数baxxxxf221对于任意Rx都满足xfxf4，则xf的最小值是．3.在正三棱柱111CBAABC中，ED,分别是侧棱11,CCBB上的点，BDBCEC2，则截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小是．4.若13cos2coscos3sin2sinsinxxxxxx，则x．5.设yx,是实数，则9422244yxyx的最大值是．6.设,3,2,1,,,2121maaaSNnnammn,则201721,,,SSS中能被2整除但不能被4整除的数的个数是．7.在直角平面坐标系xOy中，21,FF分别是双曲线01222bbyx的左、右焦点，过点1F作圆122yx的切线，与双曲线左、右两支分别交于点BA,，若ABBF2，则b的值是．8.从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为．二、解答题9.已知Ryx,，且yxyx,222，求2211yxyx的最小值.10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆13:22yxC的上顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆C交于QP,两点，且.0AQAP（1）直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.（2）过QP,两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B，求BPQ面积的取值范围.11.设函数.!1!2112nnxnxxxf（1）求证：当Nnx,,0时，xfenx；（2）设Nnx,0，若存在Ry使得ynnxexnxfe1!11，求证：.0xy2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试1.已知圆O的内接五边形ABCDE中AD与BE相交于点CFF,的延长线交圆O于点P，且.EDBCCDAB求证：.AEOP2.设yx,是非负实数，22,yxbyxa，若ba,是两个不相邻的整数，求ba,的值，3.平面上n2个点Nnn,1，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意12n条线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有n个.4.设n为正整数，nnban131211，其中nnba,为互素的正整数，对素数p，令集合npapNnnS,，证明：对每一个素数5p，集合pS中至少有三个元素.试卷答案1.302612.163.0454.Zkk,5.146.2527.138.3432二、解答题9.解：因为222yx，所以422yxyx，所以222222114111yxyxyxyxyxyx.111412当0,2yx时，.11122yxyx所以2211yxyx的最小值为.110.解：（1）因为0AQAP，所以.AQAP直线AQAP,与x轴平行时，P或Q与A重合，不合题意.设1:kxyPA，则.11:xkyQA将1kxy代入3322yx，得.063122kxxk所以2262,1.1313PPkxykk同理.361,3622kykkxQQ所以，直线:PPQPQPyyxxlyyxx,即kxkkxkykyklQQ63163121312131:2222，化简得.2141:2xkkyl直线l纵截距是常数21，故直线l过定点.21,0（2）由（1），223116kkkAP，同理，.31622kkAQ所以222222222222222223313131363131136kkkkkkkkkkPQ.3103115151362242462kkkkkk不妨设0k，令kkt1，则2t，可化得22222431236tttPQ，即.4312622tttPQ设00,yxB，则切点弦PQ的方程是3300yyxx，又QP,在2141:2xkkyl上，所以20y，从而.21320kkx所以B到PQ的距离.122316121213222222ttkkkkd因此的面积.43294312612232121232222tttttttPQdS令tu1，则210u，化得.34293uuS当210u时，uu343递增，所以23403uu，即49S，当且仅当21u，即1,2kt时，等号成立，故BPQ的面积S的取值范围是.,4911.解：（1）用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1n时，令11xexfexfxx，则,0,01xexfx恒成立，所以xf在区间,0为增函数，又因为00f，所以0xf，即.1xfex（ⅱ）假设kn时，命题成立，即当,0x时，xfekx，则1kn时，令121!11!1!211kkxkxxkxkxxexfexg，则0!1!2112xfexkxxexgkxkx，所以xg在区间,0为增函数，又因为00g，所以,0,0xxg恒成立，即,0,1xxfekx，所以1kn时，命题成立.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，Nn，当,0x时，.xfenx（2）由（1）可知xfenx1，即11!11!11nnynnxnxfexnxf，所以1ye，即0y，下证：.xy下面先用数学归纳法证明：当.,!1!11!211,012Nnexnxnxxexxnnx（ⅰ）当1n时，令xxexexF1，则,0,0xxexFx，所以xF在区间,0单调增，又00F，故0xF，即.1xxxee（ⅱ）假设kn时，命题成立，即当,0x时，.!1!11!21112kkkxexkxkxxe则当1kn时，令xxkkeexkxkxxxG12!11!1!211，0!11!11!1!211112xkxxkxkexkeexkexkxxxG，所以xG在区间,0上为增函数，又00G，故0xG，即,0,!11!1!21112xexkxkxxexkkx.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设，可知当,0x时，,!11!1!21112xnnxexnxnxxe对Nn成立，所以xnnynnxexnxnxxexnxnxxe1212!11!1!211!11!1!211，从而xyee即xy，证毕.复赛加试答案1.证明：连接.,PEPA因为五边形ABCDE内接于圆O，所以EDFABFDEFBAF,,所以EDFABF~,所以.FDFBEDAB①同理，BFPFBCPE,②.PFDFPADC③由①②③得.1PADCBCPEEDAB因为EDBCCDAB,所以.1EDDCBCAB所以PAPE，即点P是弧AE的中点，所以.AEOP2.解：因为ba,是不相邻的整数，所以yyxxyxyxab22222.32222222222yyxx由于ab是整数，所以.2ab设Znnbna,1,1，即122,1nyxnyx，则122,1nyxyxnyxyx，则122,1nyxyxnyxyx，于是1122,112nyxnxnyxnx，从而yxnxnyxnxn221212,112，故.2121xnnxn又因为.2222xx①令xt，得1212nntnx，代入①得01212222nntnnnt，于是nnnnnnnnnnnnnntx221141281412222，nnnnnnxny22111，因此，2n，并且211nnnnn，即0122nn，解之得2121n，从而212n，且Zn，故.2n所以.3,1ba3.证明：首先证明一定存在红色三角形（三边均为红色的三角形为红色三角形，下同）.设从顶点A出发的红色线段最多，由A引出的红色线段为kABABAB,,,21，则.1nk若kBBB,,21中存在两点，不妨设为21,BB使线段21BB为红色线段，则21BAB为红色三角形，若kBBB,,,21相互之间没有红色线段相连，则从kiBi,,2,1出发的红色线段最多有kn2条，所以这n2个点红色线段最多有.142212221222nnknkknkknknkk与题设矛盾，所以存在以A为顶点的红色三角形，下面用数学归纳法证明，（1）当2n时，平面上有四个点DCBA,,,中两两连线共有6条，其中有5条为红色，只有一条非红色，设为,AB则ACD与BCD均为红色三角形，命题成立，（2）假设kn时，命题成立，即至少存在k个红色三角形，当1kn时，有22k个点，且有112k条红色线段，一定存在一个红色三角形，设为.ABC考察从CBA,,引出的红色线段分别记为CdBdAd,,条，不妨设.CdBdAd若22kBdAd，则除去点BA,余下的k2个点之间至少有11211222kkk,由归纳假设可知存在至少k个红色三角形，再加上ABC至少有1k个红色三角形，若32kBdAd，则53kCdBdAd,故从CBA,,出发向其它12k个点引出红色线段至少有13k条，因为.1213kkk这13k线段至少有k对线段有公共点（不包括CBA,,）故至少存在k个红色三角形，再加上ABC，则至少有1k个红色三角形，所以1kn时命题也成立，由（1）（2）可知，当Nnn,1时，n2点之间的12n条红色线段至少可组成n个红色三角形.4.证明：引理：设5p为素数，k为非负整数，令kkstpkpkpkp112111，其中kkst,为互素的正整数，那么.2ktp引理的证明：因为111111121211211pipipikkipkpikppkipkpikpikpSt,令111piipkpikpA,因为素数5p，由Fermat小定理，以及ppkkkmod0121,其中21pk，有Apkpkpkpp112111