（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数的概念及其表示教师用书（PDF，含

第二章函数真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９江苏，４５分填空题易函数的概念及表示①求函数定义域②解一元二次不等式直接法数学运算２０１９江苏，１４５分填空题难函数的零点及方程的根①已知零点个数求参数范围②函数的奇偶性、周期性数形结合直接法、推理分析法直观想象数学运算２０１８江苏，５５分填空题易①函数的概念及其表示②对数函数①已知函数解析式求定义域②对数函数的单调性直接法数学运算２０１８江苏，９５分填空题易①分段函数及其应用②函数的周期性①分段函数求值②周期函数的应用直接法数学运算２０１８江苏，１９１６分解答题难函数与方程函数的零点求导法转化与化归数学运算数学抽象２０１７江苏，１１５分填空题中①函数的单调性②函数的奇偶性①函数奇偶性的判断②利用单调性求参数范围求导法数形结合数学运算数学抽象２０１７江苏，１４５分填空题难①分段函数②函数的周期性③函数的零点与方程的根①分段函数求值②周期函数的应用③函数零点个数直接法数形结合数学运算数学抽象２０１６江苏，５５分填空题易函数的概念及其表示已知函数解析式求定义域直接法数学运算２０１６江苏，１１５分填空题中①分段函数及其应用②函数的周期性①已知分段函数值相等求参数值②周期函数的应用直接法数学运算２０１６江苏，１９１６分解答题难①指数函数②函数与方程①指数函数的性质及应用②基本不等式的应用③利用零点求参数值求导法数学运算数学抽象２０１５江苏，７５分填空题易指数与指数函数指数函数的单调性直接法数学运算２０１５江苏，１３５分填空题中①函数的零点与方程的根②对数与对数函数①函数零点个数②对数函数图象及应用直接法数形结合数学运算直观想象２０１５江苏，１７１４分解答题中函数的实际应用用待定系数法求函数解析式待定系数法数学运算数学建模命题规律与趋势０１考查内容１．从近几年高考考题分析，本章考查内容丰富，主要考查函数的有关概念，函数性质，指数函数与对数函数，函数的图象及其应用，函数零点．２．函数与方程思想，数形结合思想是高考的热点．０２考频赋分１．函数每年必考，分值一般不少于１０分．２．试题难度不定，高、中、低档难度的题都有．题型多为填空题．０３命题特点１．函数性质每年必考，有时单考一个性质，有时涉及两个或两个以上性质，其中奇偶性考频最高，分段函数、函数的图象识辨、利用函数性质比较大小也很常见．函数单调性常作为工具使用．２．试题命题角度变化多样，设问新颖，但注重基础，不偏不怪．０４解题方法１．本章涉及的方法很多．如：直接法、消元法、配方法、构造法等都很常见，分离常数法、换元法、特殊值法也偶有使用．２．通性通法依然是解决本章试题的第一选择．０５核心素养数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模．０６命题趋势１．高考对本章的考查依然是基础与能力并存．２．以函数性质为主，常以指数函数、对数函数为载体，考查实际应用问题．３．考查形式既有单独考查，又有与其他内容结合命题，形式多样，以中等难度试题为主．８　　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§２．１　函数的概念及其表示对应学生用书起始页码Ｐ１１考点一函数的概念及其表示高频考点１．函数与映射的概念函数映射两集合Ａ、Ｂ设Ａ、Ｂ是两个非空数集设Ａ、Ｂ是两个非空集合对应关系ｆ：Ａ→Ｂ如果按照某种确定的对应关系ｆ，使对于集合Ａ中的任意一个数ｘ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数ｆ（ｘ）和它对应如果按照某一个确定的对应关系ｆ，使对于集合Ａ中的任意一个元素ｘ，在集合Ｂ中都有唯一确定的元素ｙ与之对应名称称ｆ：Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数称对应ｆ：Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一个映射记法ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ对应ｆ：Ａ→Ｂ　　２．函数的定义域、值域在函数ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ中，ｘ叫做自变量，ｘ的取值范围Ａ叫做函数的定义域，与ｘ的值相对应的ｙ的值叫做函数值，函数值的集合｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈Ａ｝叫做函数的值域．３．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．４．函数的表示法主要有：解析法，图象法，列表法．考点二分段函数及其应用高频考点　　１．如果函数在其定义域的不同子集上，对应关系不同或分别用几个不同的式子来表示，那么这种表示形式的函数叫做分段函数．２．分段函数是指不能用一个统一的解析式表示的函数，它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的连续与间断完全由对应关系来确定．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋对应学生用书起始页码Ｐ１２一、函数定义域问题的求解方法　　１．求具体函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域ｙ＝ｆ（ｘ）用图象法给出图象在ｘ轴上的投影所覆盖的实数ｘ的集合用列表法给出表格中实数ｘ的集合用解析式给出使解析式有意义的实数ｘ的集合由实际问题给出由实际问题的意义确定具体求解步骤：（１）列出使函数有意义的不等式（组）；（２）解该不等式（组）；（３）写出函数的定义域（用集合或区间表示）．２．求复合函数的定义域（１）若已知函数ｆ（ｘ）的定义域为［ａ，ｂ］，则复合函数ｆ（ｇ（ｘ））的定义域由ａ≤ｇ（ｘ）≤ｂ求出．（２）若已知函数ｆ（ｇ（ｘ））的定义域为［ａ，ｂ］，则ｆ（ｘ）的定义域为ｇ（ｘ）在ｘ∈［ａ，ｂ］上的值域．求下列函数的定义域：（１）ｆ（ｘ）＝４－｜ｘ｜＋ｌｇｘ２－５ｘ＋６ｘ－３；（２）ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）－ｘ２－３ｘ＋４；（３）ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）０｜ｘ｜－ｘ．解析　（１）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则有４－｜ｘ｜≥０，ｘ２－５ｘ＋６ｘ－３＞０，{解之得－４≤ｘ≤４，ｘ＞２且ｘ≠３，{故函数ｆ（ｘ）的定义域为（２，３）∪（３，４］．（２）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则ｘ＋１＞０，－ｘ２－３ｘ＋４＞０，{即ｘ＞－１，ｘ２＋３ｘ－４＜０，{解得－１＜ｘ＜１．故函数ｆ（ｘ）的定义域为（－１，１）．（３）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则ｘ＋１≠０，｜ｘ｜－ｘ≠０，{解得ｘ＜０且ｘ≠－１，故函数ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘ｜ｘ＜０且ｘ≠－１｝．　　１－１　求下列函数的定义域．（１）ｆ（ｘ）＝｜ｘ－２｜－１ｌｏｇ２（ｘ－１）；（２）ｆ（ｘ）＝１１－ｘ＋ｌｏｇ２（２ｘ－１）．１－１解析　（１）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则｜ｘ－２｜－１≥０，ｘ－１＞０，ｌｏｇ２（ｘ－１）≠０，{解得ｘ≥３，因此函数ｆ（ｘ）的定义域为［３，＋∞）．（２）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则１－ｘ＞０，２ｘ－１＞０，{解得１２＜ｘ＜１，所以函数ｆ（ｘ）的定义域为１２，１()．　　１－２　（１）已知ｆ（ｘ）的定义域为－１２，１２[]，求函数ｆｘ２－ｘ－１２()的定义域；（２）已知函数ｆ（３－２ｘ）的定义域为［－１，２］，求ｆ（ｘ）的定义域．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第二章　函数９　　　　１－２解析　（１）令ｔ＝ｘ２－ｘ－１２，∵ｆ（ｔ）的定义域为ｔ－１２≤ｔ≤１２{}，∴－１２≤ｘ２－ｘ－１２≤１２，∴ｘ２－ｘ≥０，ｘ２－ｘ－１≤０{⇒ｘ≤０或ｘ≥１，１－５２≤ｘ≤１＋５２，{∴所求函数的定义域为１－５２，０éëêêùûúú∪１，１＋５２éëêêùûúú．（２）∵－１≤ｘ≤２，∴－１≤３－２ｘ≤５．故ｆ（ｘ）的定义域为［－１，５］．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋二、函数解析式问题的求解方法　　１．配凑法：由已知条件ｆ（ｇ（ｘ））＝Ｆ（ｘ），可将Ｆ（ｘ）改写成关于ｇ（ｘ）的表达式，然后以ｘ替代ｇ（ｘ），便得ｆ（ｘ）的表达式；２．待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则可用待定系数法；３．换元法：已知复合函数ｆ（ｇ（ｘ））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；４．解方程（组）法：已知关于ｆ（ｘ）与ｆ１ｘ()或ｆ（ｘ）与ｆ（－ｘ）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个等式，组成方程组，通过解方程组求出ｆ（ｘ）．５．赋值消元法：遇到抽象函数的恒等式时，一般可用赋值消元法，其思维过程就是从一般到特殊．在使用赋值消元法时，要注意题中自变量的取值范围，在赋值时不能超出自变量的取值范围．（１）已知ｆ（ｘ）是一次函数，且ｆ（ｆ（ｘ））＝４ｘ＋３，则ｆ（ｘ）的解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　；（２）已知ｆ（ｘ＋１）＝ｘ＋２ｘ，则ｆ（ｘ）的解析式为　　　　；（３）已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ）＝２ｆ１ｘ()＋ｘ，则ｆ（ｘ）的解析式为　　　　；（４）已知ｆ（０）＝１，对任意的实数ｘ，ｙ都有ｆ（ｘ－ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｙ（２ｘ－ｙ＋１），则ｆ（ｘ）的解析式为　　　　．解析　（１）由题意设ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ≠０），则ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（ａｘ＋ｂ）＝ａ（ａｘ＋ｂ）＋ｂ＝ａ２ｘ＋ａｂ＋ｂ＝４ｘ＋３，∴ａ２＝４，ａｂ＋ｂ＝３，{解得ａ＝－２，ｂ＝－３{或ａ＝２，ｂ＝１．{故所求解析式为ｆ（ｘ）＝－２ｘ－３或ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１．（２）解法一：设ｔ＝ｘ＋１（ｔ≥１），则ｘ＝（ｔ－１）２，∴ｆ（ｔ）＝（ｔ－１）２＋２（ｔ－１）＝ｔ２－２ｔ＋１＋２ｔ－２＝ｔ２－１，∴ｆ（ｘ）＝ｘ２－１（ｘ≥１）．解法二：∵ｘ＋２ｘ＝（ｘ）２＋２ｘ＋１－１＝（ｘ＋１）２－１，∴ｆ（ｘ＋１）＝（ｘ＋１）２－１，又∵ｘ＋１≥１，∴ｆ（ｘ）＝ｘ２－１（ｘ≥１）．（３）由ｆ（ｘ）＝２ｆ１ｘ()＋ｘ①，得ｆ１ｘ()＝２ｆ（ｘ）＋１ｘ②，①＋②×２得ｆ（ｘ）＝ｘ＋４ｆ（ｘ）＋２ｘ，则ｆ（ｘ）＝－２３ｘ－１３ｘ．（４）令ｘ＝０，得ｆ（－ｙ）＝ｆ（０）－ｙ（－ｙ＋１）＝１＋ｙ２－ｙ，∴ｆ（ｙ）＝ｙ２＋ｙ＋１，即ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋１．答案　（１）ｆ（ｘ）＝－２ｘ－３或ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１（２）ｆ（ｘ）＝ｘ２－１（ｘ≥１）　（３）ｆ（ｘ）＝－２３ｘ－１３ｘ（４）ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋１　　２－１　（１）已知ｆ（ｘ）是二次函数，若ｆ（０）＝０，且ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋１，试求函数ｆ（ｘ）的解析式；（２）已知ｆｘ＋１ｘ()＝ｘ３＋１ｘ３，求ｆ（ｘ）；（３）已知ｆ２ｘ＋１()＝ｌｇｘ，求ｆ（ｘ）的解析式；（４）已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ）＋２ｆ（－ｘ）＝ｘ－１ｘ，求ｆ（ｘ）的解析式；（５）已知定义域为Ｒ的函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ．若有且仅有一个实数ｘ０，使得ｆ（ｘ０）＝ｘ０，求函数ｆ（ｘ）的解析式．２－１解析　（１）设ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），由ｆ（０）＝０知ｃ＝０，所以ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ．由ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋１，得ａ（ｘ＋１）２＋ｂ（ｘ＋１）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｘ＋１，即ａｘ２＋（２ａ＋ｂ）ｘ＋ａ＋ｂ＝ａｘ２＋（ｂ＋１）ｘ＋１，故有２ａ＋ｂ＝ｂ＋１，ａ＋ｂ＝１{⇒ａ＝ｂ＝１２．因此，ｆ（ｘ）＝１２ｘ２＋１２ｘ．（２）解法一（配凑法）：ｘ３＋１ｘ３＝ｘ＋１ｘ()ｘ２－１＋１ｘ２æèçöø÷＝ｘ＋１ｘ()ｘ＋１ｘ()２－３[]，所以ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ（ｘ≥２或ｘ≤－２）．解法二（换元法）：令ｔ＝ｘ＋１ｘ（ｔ≥２或ｔ≤－２），则ｔ２－２＝ｘ２＋１ｘ２，ｘ３＋１ｘ３＝ｘ＋１ｘ()ｘ２－１＋１ｘ２æèçöø÷＝ｔ（ｔ２－３），所以ｆ（ｔ）＝ｔ（ｔ２－３），所以ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ（ｘ≥２或ｘ≤－２）．（３）令ｔ＝２ｘ＋１（ｘ＞０），则ｘ＝２ｔ－１（ｔ＞１），∴ｆ（ｔ）＝ｌｇ２ｔ－１，∴ｆ（ｘ）＝ｌｇ２ｘ－１（ｘ＞１）．（４）由ｆ（ｘ）＋２ｆ（－ｘ）＝ｘ－１ｘ得ｆ（－ｘ）＋２ｆ（ｘ）＝－ｘ＋１ｘ，则ｆ（ｘ）＝－ｘ＋１ｘ．（５）因为对任意ｘ∈Ｒ，有ｆ（ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ，有且只有一个实数ｘ０，使得ｆ（ｘ０）＝ｘ０，所以对任意ｘ∈Ｒ，有ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ＝ｘ０．在上式中令ｘ＝ｘ０，有ｆ（ｘ０）－ｘ２０＋ｘ０＝ｘ０，又因为ｆ（ｘ０）＝ｘ０，所以ｘ０－ｘ２０＝０，故ｘ０＝０或ｘ０＝１．若ｘ０＝０，则ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ＝０，即ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ，􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１０　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）但方程ｘ２－ｘ＝ｘ有