孤立波

孤立波第一节历史回顾第二节KdV方程第三节正弦—高登方程第四节非线性薛定谔方程与光学孤立子1.一个奇特的水波2.孤立波与孤立子第一节历史回顾1.一个奇特的水波一个奇特的水波约170年前，苏格兰海军工程师罗素(J.ScottRussell)在一次偶然中观察到一种奇特的水波。1844年，他的报告：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约30英尺长，1-1.5英尺高的浪头，约以每小时8-9英里的速度前进后来，在运河的拐弯处消失了”。罗素称之为孤立波-Solitarywave。罗素的发现1.一个奇特的水波水槽中的实验罗素在一长水槽的一端，用一重锤垂落入水中，反复的观察重锤激起的水浪的运动。实验结论水波移动速度v、水的深度d及水波幅度A的关系为：B为比例常数实验结果说明水波的运动速度与波幅高度有关，波幅高的速度较快，且波幅的宽度对高度之比也相对较窄。罗素的发现)(2AdBv1.一个奇特的水波KdV方程半个世纪后，1895年，两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与德弗雷斯(deVries)认为：罗素观察到的孤立波是波动过程中非线性效应与色散现象互相平衡的结果。他们建立了KdV方程：解sech(x)为双曲正割函数,具有钟形形状。FPU问题又过半个多世纪，1955年，美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和乌莱姆(Ulam)设计了一个数值计算实验：“非线性弹簧联结的64个质点组成弦的振动”，发现初始对少数质点激发，长时间后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。漫长的发展史033xuxuutu)(sech3)t,(2vtxvvvxu1.一个奇特的水波1965年两位美国数学家，采布斯基(Zabusky)与克鲁思卡尔(Kruskal)，用计算机计算发现，FPU问题与KdV方程的解直接有关。此后，人们发现，在许多物理体系中都存在KdV方程，说明孤立波是一种普遍存在的物理现象。KdV方程成为数学物理的一个基本方程孤立波方程在理论上和实验上已对孤立波巳作了大量的研究。此后发现，除KdV方程外还有其它微分方程具有孤立波解。在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波特性。(1)KdV方程(2)正弦—高登(Sine-Gordon)方程(3)户田(M.Toda)非线性晶格方程(4)非线性薛定谔方程(NLSE)漫长的发展史在形态上孤立波是存在于自然界里的相干结构(coherentstructure，或称拟序结构)。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有序结构。从运动形式上相干结构与混沌运动既是相互对立的。混沌运动是非线性中奇妙的无序状态，相干结构反映了非线性系统中的惊人有序性。孤立波在尺度上：大到天文范围(木星上巨型红斑达4×108米，约地球与月亮之间的距离；泰国安达曼海面出现的孤立波约150公里宽；水面上孤立水波的尺寸在1米量级)，小到纳米(二硫化钽晶体中的电菏密度孤立波)。2.孤立波与孤立子2.孤立波与孤立子孤立子计算发现，两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性，说明：(1)孤立波非常的稳定；(2)象一个物质粒子。人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子-soliton”，简称“孤子”。孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳定的准粒子。2.孤立波与孤立子孤立子定义①向单方向传播的行波；②分布在空间的一个小区域中；③波动形状不随时间演变而发生变化；④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。孤立子具有一切粒子所具有的特性，如能量、动量、质量、电荷、自旋等等，也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动性，存在于一切可以出现波动的介质里。孤立波子哪里？孤立波除存在于浅水层外，还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子体、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行波，既可以速度v在空间传播，又可以处于静止状态。2.孤立波与孤立子孤立波类型(i)波包型(ii)凹陷型(iii)扭结型(iv)反扭结型(i)、(ii)两种是在时，(iii)、(iv)两种是在时,u(x)趋近于不同的数值x0)(xux1.波动中的非线性会聚效应2.波动中的色散3.KdV方程4.KdV方程的孤立波解第二节KdV方程1.波动的会聚效应浪花的形成微风吹拂，水面只掀起层层碎浪；劲风吹来，浪尖则卷起浪花。同样的情况可以出现在海滩边。远处传来的海浪越近海岸，浪头越高，终于在离海岸不远处卷起了浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力，浪的较低部分受到阻滞力大，较高部分阻滞力小。因此当水浪高处前进速度大，低处前进速度小，水浪会在前进中越来越前倾，在某一时刻波前出现坍塌，卷起了浪花。当水浪的不同部分有不同行进速度时，会出现会聚效应，形成浪花。1.波动的会聚效应浪花的形成数学表述设介质中x处的粒子密度n(x,t)，由粒子守恒dx/dt=v如果速度v=v0是常数，方程具有行波解：n=(x-v0t)介质的移动速度v0即波速。在初始时刻介质中出现的扰动n(x,0)=F(x)，波动将在传播中保持不变。波动将以速度v0无畸变地沿x方向前进。如果波动的速度v与介质的密度n有关，设：n(x,t)=F[x-v(n)t]当出现波包前沿变陡，形成波包会聚。0dtdn0tddxxntn0xnvtn0dndv2.波动中的色散平面波的相速一个频率w为沿x方向传播的平面波为：)](exp[),(tkxiAtxuwkdtdxvw0d等相位面运动速度代表一列平面波的传播速度—相速等相位面=kx-wt=const0=t=tx=dkdxdtdxdw2.波动中的色散色散波一个波动可以看成许多平面波（谐波）w1、w2、w3…的合成：如果所有谐波都以同一的速度行进，w1/k1w2/k2=...=常数，是非色散波；如果每个谐波都有不同的行进速度，w/k≠常数，是色散波。色散波将在传播中因弥散而消失。kvvgwkw2.波动中的色散色散关系设一波动方程：得关系将解代入：得色散关系由色散关系可求得波的群速02222022umxuvtu022202mkvw2220=)(mkvkw222020gmkvkvkvw)](exp[),(tkxiAtxuw线性波动方程与色散关系间存在着对应关系。于是便可以在波动方程与色散关系之间建立直接的对应。根据对应关系，可以由色散关系直接构造出波动方程来。ikxitw,3.KdV方程KdV方程的推导对于不可压缩介质，粒子数密度n应用粒子速度v来替代，即有在重力作用下水波的色散关系：(g-重力加速度，h水深)w(k)=gktank(kh)级数展开近似式利用考虑导致波形坍塌的非线性效应得KdV方程0xvvtv3)(kkkwghghh,61233xvxvtv0)(33xvxvvtv0xnvtnikxitw,KdV方程的孤立波解设方程的解为方程变为整理后其解是罗素观察到的水面上奇特水波3.KdV方程)()(0utvxuu0)(33xuxuvtu0220uuvuuu0)(33uuu0v)(4sech3)(02u3.KdV方程KdV方程与同宿线将KdV方程二次积分：雅可比矩阵本征方程0)V('212uu两个一阶方程)(Vuvvu0)(V-10uM)(V2u对于V(u)的极小点，V”(u)0，2的实部为零的共轭复根是中心点，围绕中心点的相轨线是椭圆；对于V(u)的极大点，V”(u)0，2为符号不同的实根，因而是鞍点。方程有一个鞍点，沿着一条流形出发，绕了一圈之后又回到了鞍点，流形为同宿线KdV方程的孤立波解-1设方程的解为方程变为整理后积分一次二次积分整理后有其中)()(0utvxuu0)(33xuxuvtu0220uuvuuu0)(33uuu0vCconst21222vuuHconstC216121232uuuu0)V('212uu)6C63(61)(V23HuuuuKdV方程的孤立波解-2讨论：函数是三次曲线，三个零点b1,b2,b3。根据三次代数方程的解与系数的关系，设改写为写成积分V(u)在区间[b1,b2]内为负；[b2,b3]为正；其余区间为无界对于[b2,b3]，引入代换上面积分变为)6C63(61)(V23Huuuu))()(()(V6321bububuu3321bbb0ub3213))()((d121bububuu2323sin)(bbbu022313sin1d12)(ubb31322bbbb椭圆函数模数KdV方程的孤立波解-3设积分这是KdV方程的椭圆余弦波解，u(x)是一列周期为L的行波。cn(x)波周期为u(x)的周期L为它不具局域性质，不是孤立波。23222323cos)(sin)(bbbbbbu022313sin1d12)(ubb),(12)(cn)()(0312322bbbbbud2/022sin14)(K43112)(2K=bbLKdV方程的孤立波解-4孤立波解1.当模数，即，椭圆余弦函数这是振幅十分小的余弦波解2.当模数，即，椭圆余弦函数双曲正割函数当V(u)中，得：这是罗素观察到的水面上奇特水波0223bbxxcoscn)(12)(cos)()(0312322bbbbbu)(12)(cos2121)(031322bbbbb)(3)(cos220313232bbbbbb1221bbxxhseccn)(12)(sech)()(0312311bbbbbu0CH021bb33b)(4sech3)(02u1.一维原子链与正弦—高登(sine-Gordon)方程2.正弦－高登方程孤立波解第三节正弦—高登方程1.一维原子链与sine-Gordon方程一维原子链模型：一串周期地束缚在非线性弹簧上的原子。原子链的哈密顿为：设势函数，第k个原子的运动方程为：S-G方程kkk1-kkk1+kk2k)V()]()([2121=yyyyyymH2)()(V)()(=k1-kkk1+kkkyyyyyyyH(V(y)为外场势能)1.一维原子链与sine-Gordon方程通过将分离变量运动方程过渡到连续变量一般情况S-G方程S-G方程)(V)()(=k1-kkk1+kkkyyyyyyyHxyyykxyykkk)(),(1-)(V'2222yxyty0sin2222yxyty0sin2222022umxuvtuV=cosy时2.sine-Gordon方程孤立波解方程的解取形式则得常微分方程利用特殊函数积分公式两种特殊情况(1)，snx~sinx(2)