2019-2020学年高中数学 第2章 函数章末复习课讲义 苏教版必修1

-1-第2章函数函数值域的求法函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．【例1】求下列函数的值域：(1)y＝2x；(2)y＝2x－1x＋3；(3)f(x)＝x＋3x－2.思路点拨：(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解．[解](1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0.所以函数y＝2x的定义域为[0，＋∞)，因此2x≥0，所以函数y＝2x的值域为[0，＋∞)．-2-(2)法一(分离系数法)：y＝2x－1x＋3＝2x＋3－7x＋3＝2＋－7x＋3.而－7x＋3≠0，所以2＋－7x＋3≠2，因此函数y＝2x－1x＋3的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝2x－1x＋3的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝2x－1x＋3，得x＝3y＋12－y.而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2.所以函数y＝2x－1x＋3的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)令3x－2＝t，则t≥0，x＝t2＋23＝13t2＋23，∴y＝13t2＋23＋t＝13t＋322－112.∵t≥0，∴y≥23，∴函数f(x)＝x＋3x－2的值域为23，＋∞.常见的求值域的方法1直接法观察法：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数fx＝5x＋1x∈{1，2，3，4}的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数fx的值域为{6，11，16，21}.2分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.3反解法：例如求函数y＝x－1x＋2x＞－4的值域.由y＝x－1x＋2解出x得x＝2y＋11－y.由x＞－4，得2y＋11－y＞－4，即2y－5y－1＞0，∴y＞52或y＜1.故函数y＝x－1x＋2x＞－4的值域为－∞，1∪52，＋∞.4图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.5换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.-3-1．(1)函数f(x)＝x＋7，x∈[－1，1，2x＋6，x∈[1，2]，则f(x)的最大值与最小值分别为________、________.(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．(1)106(2)1[(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8.在[－1,1]上，f(x)f(1)＝1＋7＝8，∴f(x)在[－1,2]上单调递增，∴f(x)max＝f(2)＝2×2＋6＝10，f(x)min＝f(－1)＝－1＋7＝6.(2)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，∴在[0,1]上，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4＋a＝4－3＝1.]函数性质的应用函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．【例2】函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)0.思路点拨：(1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f，转化为t的不等式求解．[解](1)由题意，得f0＝0，f12＝25，即b1＋02＝0，a2＋b1＋14＝25⇒a＝1，b＝0.∴f(x)＝x1＋x2，经检验，符合题意．(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x21＋x22－x11＋x21＝x2－x11－x1x21＋x211＋x22.∵－1x1x21，∴x2－x10,1＋x210,1＋x220.-4-又∵－1x1x21，∴1－x1x20，∴f(x2)－f(x1)0，故f(x2)f(x1)，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．(3)原不等式可化为f(t－1)－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1t－1－t1，解得0t12.故原不等式的解集为t0t12.函数单调性与奇偶性应用常见题型1用定义判断或证明单调性和奇偶性.2利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.3利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.4利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.2．设函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．[解](1)令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)为奇函数．(2)任取－3≤x1x2≤3，则x2－x1＝Δx0.由题意，得f(x2－x1)0，且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在[－3,3]上为减函数．所以函数f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝3f(1)＝－6.-5-函数的图象与数形结合思想函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．【例3】(1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．思路点拨：(1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．(1)③(2)1m5[由f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知f(x)·g(x)为奇函数，又x∈(－3,0)时，f(x)0，g(x)0，所以f(x)·g(x)0，只有③符合．(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，则f(x)＝x2－4x＋5，x≥0，x2＋4x＋5，x0，作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知，当1m5时，f(x)的图象与y＝m有4个交点，即方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根．]作函数图象的方法方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．-6-3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．2[首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，－x＋3，0x≤1，32x＋12，1x≤5，x2－4x＋3，x5.f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.]