2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点讲义 苏教版必修

-1-2.1.4两条直线的交点学习目标核心素养1．了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．(重点、难点)2．会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．(重点)3．会利用直线系方程解决相关问题．(难点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理数学核心素养.1．二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行2.直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(注意：该直线不包括直线l2)1.思考辨析(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．()(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．()(3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．()(4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．直线x＋2y－1＝0与直线x＋y－5＝0的交点坐标为________．(9，－4)[联立方程组x＋2y－1＝0，x＋y－5＝0，解得x＝9，y＝－4，所以交点坐标为(9，－4)．]3．已知直线3x＋5y＋m＝0与直线x－y＋1＝0交点在x轴上，则m＝________．-2-3[直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0)，则(－1，0)在直线3x＋5y＋m＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m＝0，∴m＝3.]4．过点(1，1)与直线2x＋y＝4平行的直线方程为________．2x＋y－3＝0[设所求直线方程为2x＋y＝m，将点(1，1)代入方程得m＝3，∴所求直线方程为2x＋y－3＝0.]两直线位置关系的判定【例1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.思路探究：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断．[解](1)由方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，得x＝－1，y＝－1，∴直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组x＋y＋2＝0，①2x＋2y＋3＝0，②①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程组无解．∴两直线无公共点，l1∥l2.(3)解方程组2x－3y＋5＝0，①4x－6y＋10＝0，②①×2得4x－6y＋10＝0，∴①和②可以化为同一方程，即l1与l2是同一直线，l1与l2重合．判定直线的位置关系有以下两种方法(1)利用方程组解的个数判断．(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①当A1B2－A2B1≠0时，两直线相交；②当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)时，两直线重合；③当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)时，两直线平行；-3-④当A1A2＋B1B2＝0时，两直线垂直．1．下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________．①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.①③[①显然相交；②平行；③直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；④两直线平行．]2．两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在x轴上，那么m的值是________．－24[在2x＋3y－m＝0中，令y＝0，得x＝m2；在x－my＋12＝0中，令y＝0，得x＝－12.由题意知m2＝－12，故m＝－24.]直线交点的应用【例2】当k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点P在第一象限？思路探究：在相交的条件下，联立方程组求交点，根据条件列关于k的不等式组求解．[解]当k＝－14时，l1与l2平行，不符合题意．当k≠－14时，由y＝kx＋3k－2，x＋4y－4＝0，得x＝12－12k1＋4k，y＝7k－21＋4k，∵点P在第一象限，∴12－12k1＋4k0，7k－21＋4k0，∴27k1.已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围．3．如图，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.-4-连结EC，AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.[证明]以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b，0)，B(0，0)，E(－a，a)，F(b，－b)．直线AF的方程是y＋ba＋b＝x－b0－b，即(a＋b)x＋by－ab＝0.直线EC的方程是y－0a－0＝x－b－a－b，即ax＋(a＋b)y－ab＝0.解方程组（a＋b）x＋by－ab＝0，ax＋（a＋b）y－ab＝0，得x＝a2ba2＋ab＋b2，y＝ab2a2＋ab＋b2，即M点的坐标为a2ba2＋ab＋b2，ab2a2＋ab＋b2，故kBM＝ba，又kAC＝0－ab－0＝－ab，所以kBM·kAC＝－1.因此BM⊥AC.过两直线交点的直线系方程的应用[探究问题]1．过原点(0，0)且过直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点的直线方程怎样求？有几种方法？-5-[提示]有两种方法，法一，先求直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点，再利用两点式求出方程．法二，设所求直线为x＋y－2＋λ(x－y＋3)＝0，将点(0，0)代入得3λ－2＝0，∴λ＝23，所求直线为x＋y－2＋23(x－y＋3)＝0，即5x＋y＝0.2．过点M(2，0)，与直线x＋2y－b＝0(b≠2)平行的直线怎样求？[提示]设所求直线为x＋2y＋m＝0，将点(2，0)代入方程，求出m的值即可，直线为x＋2y－2＝0.【例3】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．思路探究：可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；或利用过两直线交点的直线系方程求解．[解]法一：解方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得P(0，2)．∵kl3＝34，且l⊥l3，∴kl＝－43.由斜截式可知l的方程为y＝－43x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可．-6-4．求经过两条直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的方程．[解]法一：由2x＋y－8＝0，x－2y＋1＝0，解得x＝3，y＝2.由题意可知所求的直线在x轴，y轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为xa＋yb＝1.所以3a＋2b＝1，12|a|·|b|＝12，解得a＝1，b＝－1或a＝－32，b＝23.所以所求的直线的方程为x1＋y－1＝1或x－32＋y23＝1，即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.法二：易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S＝12×1×12≠12，所以所求的直线的方程不可能是x－2y＋1＝0.故可设所求的直线的方程为(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ为任意实数)，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.由题意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0，令x＝0，得y＝－λ－81－2λ；令y＝0，得x＝－λ－82＋λ.所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12·－λ－81－2λ·－λ－82＋λ＝12，所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.解得λ＝3或λ＝－22.当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、-7-相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法．(2)经过两直线交点的直线系方程：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.1．直线l1：2x－y＝7与l2：3x＋2y－7＝0的交点坐标为()A．(－3，1)B．(3，－1)C．(6，－2)D．(4，1)B[由2x－y＝7，3x＋2y－7＝0，解得x＝3，y＝－1，∴交点为(3，－1)．]2．已知直线l：2x＋my＋1＝0与直线y＝x＋1相交，则m的取值范围是________．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)[若m＝0，两直线显然相交；若m≠0，则－2m≠1，即m≠－2.故m的取值范围为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．]3．过l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直线方程为________．8x＋16y＋21＝0[由3x－5y－10＝0，x＋y＋1＝0，解得交点坐标为58，－138，故所求直线过点58，－138且与x＋2y－5＝0平行，可设直线方程为x＋2y＋C＝0，所以58＋2×－138＋C＝0，故C＝218，所以所求直线方程为x＋2y＋218＝0，即为8x＋16y＋21＝0.]4．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求m的取值范围．-8-[解]由x＋y－3m＝0，2x－y＋2m－1＝0，得x＝m＋13，y＝8m－13，∴交点M的坐标为m＋13，8m－13.∵交点M在第四象限，∴m＋130，8m－130，解得－1m18，∴m的取值范围是－1，18.