2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数（第1课时）对数

-1-第1课时对数的概念学习目标核心素养1.理解对数的概念．(重点)2.能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点)3.掌握常用对数与自然对数的定义.通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的数学核心素养.1．对数一般地，如果a(a0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N，简记为lg_N.3．自然对数以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2.71828…是一个无理数，正数N的自然对数logeN，一般简记为ln_N.4．几个特殊对数值(1)loga1＝0，logaa＝1，loga1a＝－1.(其中a＞0且a≠1)．(2)对数恒等式：alogaN＝N(a0，a≠1，N0)．(3)零和负数没有对数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．()(5)lg10＝lne＝1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[提示](1)－2不能作底数；(2)log23与log32底数和真数均不同，意义不一样；(4)a0且a≠1.2．计算：log39＝________，2log23＝________.-2-23[log39＝2,2log23＝3.]3．(1)将log232＝5化成指数式，将3－3＝127化成对数式；(2)已知log4x＝－32，求x；(3)已知log2(log3x)＝1，求x；(4)求log2－1(3＋22)．[解](1)25＝32，log3127＝－3.(2)∵log4x＝－32，∴x＝4－32＝2－3＝18.(3)∵log2(log3x)＝1，∴log3x＝21＝2，∴x＝32＝9.(4)设y＝log2－1(3＋22)，则(2－1)y＝3＋22＝(2＋1)2＝(2－1)－2，则y＝－2，即log2－1(3＋22)＝－2.对数的概念【例1】使对数log2a－2(10－4a)有意义的a的取值范围是________．思路点拨：根据对数中底数和真数的取值范围求解．1，32∪32，52[要使log2a－2(10－4a)有意义，则2a－20，2a－2≠1，10－4a0⇒1a32或32a52.]根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可.1．(1)使loga(3a－2)有意义的a的取值范围是________．(2)使logx2＋1(－3x＋6)有意义的x的取值范围是________．(1)xa23且a≠1(2){x|x2且x≠0}[(1)令a0，a≠1，3a－20⇒a23且a≠1.-3-(2)令x2＋1≠1，－3x＋60⇒x2且x≠0.]指数式与对数式的互化【例2】(1)将下列各指数式改写成对数式：①24＝16；②3－3＝127；③5a＝20；④12b＝0.45.(2)将下列各对数式改写成指数式：①log1216＝－4；②log2128＝7；③lg0.01＝－2；④ln10＝2.303.思路点拨：利用ax＝N⇔x＝logaN(a0且a≠1)进行互化．[解](1)①24＝16⇒log216＝4.②3－3＝127⇒log3127＝－3.③5a＝20⇒log520＝a.④12b＝0.45⇒log120.45＝b.(2)①12－4＝16.②27＝128.③10－2＝0.01.④e2.303＝10.1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a0，a≠1，N0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________．①N＝a2与logNa＝2；-4-②log24＝4与(2)4＝4；③14－3＝64与log6414＝－13；④logx7y＝z与xz＝y17.②④[①N＝a2⇔logaN＝2(a0且a≠1)；③14－3＝64⇔log1464＝－3.]3．设a＝log37，b＝log328，则32a－b＝________.74[由题知3a＝7,3b＝28，∴32a－b＝32a3b＝3a23b＝7228＝74.]解指数、对数方程[探究问题]1．方程x＝42，x＝33的解是什么？如何解x＝ab型的方程．[提示]x＝42＝16，x＝33＝27，解x＝ab时按幂的运算法则计算即可．2．方程x2＝4(x0)，x3＝64的解是什么？如何解xk＝b(k∈Z)．[提示]x2＝4，∴x＝4＝2，x3＝64，∴x＝364＝4，xk＝b，∴x＝kb±kbk为奇数，b∈R，k为偶数，b≥0，即可通过开方运算求解．3．方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解ax＝b(a0，a≠1)．[提示]∵23＝8，∴2x＝8的解为x＝3，2x＝7，∴x＝log27，ax＝b，x＝logab即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．【例3】解方程：-5-(1)9x＝27；(2)ex＝e2；(3)5log5(2x－1)＝25；(4)log2(log3(log4x))＝0；(5)logx16＝－4；(6)x＝－lne－3.思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．[解](1)9x＝27，∴(32)x＝33，即32x＝33，∴2x＝3，∴x＝32.(2)∵ex＝e2，∴x＝2.(3)5log5(2x－1)＝2x－1＝25，∴x＝13.(4)∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝20＝1，∴log4x＝31＝3，∴x＝43＝64.(5)∵x－4＝16，∴1x4＝16＝24，∴1x＝±2，∴x＝±12.又x0，∴x＝12.(6)x＝－lne－3，∴－x＝lne－3，∴e－x＝e－3，∴－x＝－3，∴x＝3.解指数、对数方程时应注意：(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题．(2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解．(3)x的取值范围是否在指对数式的互化中发生了改变．4．求下列各式中的x值．(1)log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；(2)lg0.001＝x；(3)logx8＝3；(4)2log2x2＝14.[解](1)由题知2x2－1＝3x2＋2x－1，得x＝0或x＝－2，当x＝0时，2x2－1＝－10，∴x≠0，当x＝－2时，2x2－10，3x2＋2x－10，符合题意，∴x＝－2.(2)10x＝0.001＝10－3，∴x＝－3.(3)x3＝8，∴x＝38＝2.-6-(4)2log2x2＝x2＝14，∴x＝±12.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a0，且a≠1，N0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4C[①③④正确，②不正确，只有a0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]2．在N＝log(10－b)(b－2)中，实数b的取值范围是________．(2,9)∪(9,10)[令b－20，10－b0，10－b≠1，∴2b10且b≠9.]3．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.12[∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.∴a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12.]4．求值：(1)23－log23；(2)eln2＋ln5；(3)3log35＋3log315；(4)(2)2(log29－log23)．[解](1)原式＝23÷2log23＝8÷3＝83.(2)原式＝eln2·eln5＝2×5＝10.(3)∵3log35＝5，3log315＝15，-7-∴原式＝5＋15＝55＋15.(4)原式＝((2)2)log29－log23＝2log29－log23＝2log292log23＝93＝3.